로그 등식과 자연수 조건

[출제의도] 로그의 성질을 활용하여 문제해결하기 $- 4 \log _{a} b = 54 \log _{b} c = \log _{c} a = k$라 하면 $k ^{3}$$= - 4 \log _{a} b \times 54 \log _{b} c \times \log _{c} a$ $\displaystyle = - \frac{4 \log b}{\log a} \times \frac{54 \log c}{\log b} \times \frac{\log a}{\log c}$ $= - 216$ 에서 $k = - 6$ $\displaystyle b = a ^{- \frac{k}{4}} = a ^{\frac{3}{2}}$, $\displaystyle c = a ^{\frac{1}{k}} = a ^{- \frac{1}{6}}$ 이므로 $\displaystyle b \times c = a ^{\frac{3}{2}} \times a ^{- \frac{1}{6}} = a ^{\frac{4}{3}}$ $\mathrm{1}$이 아닌 자연수 $a$에 대하여 $\displaystyle a ^{\frac{4}{3}}$의 값이 자연수가 되기 위해서는 어떤 자연수 $n \left( n > 1 \right)$에 대하여 $a = n ^{3}$이어야 한다. $\displaystyle a ^{\frac{4}{3}} = \left( n ^{3} \right) ^{\frac{4}{3}} = n ^{4} \leq 300$ 에서 가능한 자연수 $n$의 값은 $2$, $3$, $4$뿐이다. 따라서 구하는 모든 자연수 $a$의 값의 합은 $2 ^{3} + 3 ^{3} + 4 ^{3} = 8 + 27 + 64 = 99$