로그 등식과 근

[출제의도] 로그의 성질과 이차방정식의 근의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. 이차방정식이 실근을 가지므로 판별식 $D$는 $D = p ^{2} - 4 q \geq 0$ $\cdots \text{㉠}$ 이고, 근과 계수의 관계에서 $\alpha + \beta = - p$, $\alpha \beta = q$ 한편, $\displaystyle \log _{2} ( \alpha + \beta ) = \log _{2} \alpha + \log _{2} \beta - 1 = \log _{2} \frac{\alpha \beta}{2}$ 이므로 $\displaystyle \alpha + \beta = \frac{\alpha \beta}{2}$ ∴ $\displaystyle - p = \frac{q}{2}$ 즉, $q = - 2 p$ $\cdots \text{㉡}$ ㉡을 ㉠에 대입하면 $p ^{2} - 4 q = p ^{2} + 8 p$$= p ( p + 8 ) \geq 0$ 진수 조건에서 $- p > 0$, $q > 0$이므로 $p \leq - 8$이고 $q \geq 16$이다. 따라서 $q - p$의 최솟값은 $24$이다.