대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그 등식 증명

문제

다음은 임의의 실수 xx, yy에 대하여 log⁡2aa=x\log _{2 a} a = x, log⁡3a2a=y\log _{3a} 2 a = y (\left( \right.단, a>0a > 0, a≠12\displaystyle a \ne \frac{1}{2}, a≠13\displaystyle a \ne \frac{1}{3}))일 때, 21−xy=3y−xy2 ^{1 - xy} = 3 ^{y - xy}임을 증명한 것이다.

[증명] xy=(log⁡2aa)×(log⁡3a2a)xy = ( \log _{2a} a ) \times ( \log _{3a} 2 a ) =log⁡10alog⁡102a×log⁡102alog⁡103a\displaystyle = \frac{\log _{10} a}{\log _{10} 2 a} \times \frac{\log _{10} 2 a}{\log _{10} 3 a} == (가) 이므로 1−xy=1 - xy = (나) 이고 y−xy=y - xy = (다) 이다. 그러므로 21−xy=3y−xy2 ^{1 - xy} = 3 ^{y - xy}가 성립한다.

이 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

(가)(나)(다)
① log⁡3aa\log _{3a} alog⁡3a2\log _{3a} 2log⁡3a3\log _{3a} 3
②log⁡3aa\log _{3a} alog⁡3a3\log _{3a} 3log⁡3a2\log _{3a} 2
③log⁡3aa\log _{3a} alog⁡3a3\log _{3a} 3log⁡2a3\log _{2a} 3
④ log⁡a3a\log _{a} 3 alog⁡a2\log _{a} 2log⁡2a3\log _{2a} 3
⑤ log⁡a3a\log _{a} 3 alog⁡a2\log _{a} 2log⁡3a2\log _{3a} 2
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②

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해설

[출제의도] 로그의 성질 증명하기 (가) log⁡10alog⁡103a=log⁡3aa\displaystyle \frac{\log _{10} a}{\log _{10} 3 a} = \log _{3 a} a (나) 1−log⁡3aa=log⁡3a3aa=log⁡3a3\displaystyle 1 - \log _{3a} a = \log _{3a} \frac{3 a}{a} = \log _{3a} 3 (다) log⁡3a2a−log⁡3aa=log⁡3a2a2=log⁡3a2\displaystyle \log _{3a} 2 a - \log _{3a} a = \log _{3a} \frac{2 a}{2} = \log _{3a} 2

태그

#밑변환#증명

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