로그 등식

$\displaystyle \frac{3 a}{\log _{a} b} = \frac{b}{2 \log _{b} a} = \frac{3 a + b}{3} = k$로 놓으면 $3 a = k \log _{a} b$, $b = 2 k \log _{b} a$, $3 a + b = 3 k$ ∴ $k \log _{a} b + 2 k \log _{b} a = 3 k$ $\log _{a} b + 2 \log _{b} a = 3$ $\log _{a} b = t$로 놓으면 $\displaystyle \log _{b} a = \frac{1}{t}$이므로 $\displaystyle t + \frac{2}{t} = 3$, $t ^{2} - 3 t + 2 = 0$ $( t - 1 ) ( t - 2 ) = 0$ $t \neq 1$이므로 $t = 2$ ∴ $10 \log _{a} b = 10 \cdot 2 = 20$ [다른 풀이] $\displaystyle \frac{3 a}{\log _{a} b} = \frac{b}{2 \log _{b} a}$에서 $6 a \log _{b} a = b \log _{a} b$, $\displaystyle \frac{6 a}{\log _{a} b} = b \log _{a} b$ $\displaystyle \frac{6 a}{b} = ( \log _{a} b ) ^{2}$ $\cdots \text{㉠}$ $\displaystyle \frac{3 a}{\log _{a} b} = \frac{b}{2 \log _{b} a} = \frac{3 a + b}{3}$이므로 $\displaystyle \left( \frac{3 a + b}{3} \right) ^{2} = \frac{3 a}{\log _{a} b} \times \frac{b}{2 \log _{b} a}$$\displaystyle = \frac{3 ab}{2}$ (∵ $\log _{a} b \times \log _{b} a = 1$) $\displaystyle \frac{9 a ^{2} + 6 ab + b ^{2}}{9} = \frac{3 ab}{2}$에서 $18 a ^{2} + 12 ab + 2 b ^{2} = 27 ab$, $18 a ^{2} - 15 ab + 2 b ^{2} = 0$ $b \neq 0$이므로 양변을 $b ^{2}$으로 나누면 $\displaystyle 18 \left( \frac{a}{b} \right) ^{2} - 15 \cdot \frac{a}{b} + 2 = 0$ $\displaystyle \frac{a}{b} = t$로 놓으면 $18 t ^{2} - 15 t + 2 = 0$, $( 3 t - 2 ) ( 6 t - 1 ) = 0$ $\displaystyle t = \frac{2}{3}$ 또는 $\displaystyle t = \frac{1}{6}$ $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{2}{3}$이면 ㉠에서 $( \log _{a} b ) ^{2} = 4$ $\log _{a} b > 1$이므로 $\log _{a} b = 2$ $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{1}{6}$이면 ㉠에서 $( \log _{a} b ) ^{2} = 1$ $\log _{a} b > 1$이므로 모순 따라서 $\log _{a} b = 2$이므로 $10 \log _{a} b = 20$