대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그 최솟값

문제

a>1,b>1a > 1 , b > 1 일 때, log⁡a3b2+log⁡b4a3\log _{a ^{3}} b ^{2} + \log _{b ^{4}} a ^{3} 의 최소값은? [4점] ①11②2\displaystyle \sqrt{2}③3\displaystyle \sqrt{3}④22⑤5\displaystyle \sqrt{5}

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②

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해설

[출제의도] 산술기하평균의 관계를 이용하여 지수로그문제를 해결할 수 있다. a>1,b>1a > 1 , b > 1에서 log⁡ab>0,log⁡ba>0\log _{a} b > 0 , \log _{b} a > 0 산술기하평균의 관계에 의하여 ∴ log⁡a3b2+log⁡b4a3\log _{a ^{3}} b ^{2} + \log _{b ^{4}} a ^{3} =23log⁡ab+34log⁡ba\displaystyle = \frac{2}{3} \log _{a} b + \frac{3}{4} \log _{b} a ≥223log⁡ab⋅34log⁡ba=2\displaystyle \geq 2 \sqrt{\frac{2}{3} \log _{a} b \cdot \frac{3}{4} \log _{b} a} = \sqrt{2}

태그

#산술기하평균#로그

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