미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

로그 치환적분

문제

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 f(x)f ( x )에 대하여 ∫1e2f(1+2ln⁡x)xdx=5\displaystyle \int _{1} ^{e ^{2}} {\frac{f ( 1 + 2 \ln x )}{x}} dx = 5 일 때, ∫15f(x)dx\displaystyle \int _{1} ^{5} {f ( x )} dx의 값은? [3점] ①66②77③88④99⑤1010

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⑤

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해설

1+2ln⁡x=t1 + 2 \ln x = t로 치환하면, 2xdx=dt\displaystyle \frac{2}{x} dx = dt ∫1e2f(1+2ln⁡x)xdx\displaystyle \int _{1} ^{e} {}^{2} \frac{f ( 1 + 2 \ln x )}{x} dx=12∫15f(t)dt\displaystyle = \frac{1}{2} \int _{1} ^{5} f ( t ) dt=5= 5, ∴\therefore ∫15f(x)dx=10\displaystyle \int _{1} ^{5} f ( x ) dx = 10

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