대수지수와 로그AI아주 기초 (2점~3점 초반)

로그 치환과 이차식의 최댓값

문제

1x811 \leq x \leq 81일 때, (log3x)2+4log3x+1- ( \log _{3} x ) ^{2} + 4 \log _{3} x + 1의 최댓값을 구하시오. [2점]

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해설

log3x=t\log _{3} x = t라 하면 1x811 \leq x \leq 81에서 0t40 \leq t \leq 4 (log3x)2+4log3x+1=t2+4t+1=(t2)2+5- ( \log _{3} x ) ^{2} + 4 \log _{3} x + 1 = - t ^{2} + 4 t + 1 = - ( t - 2 ) ^{2} + 5 0t40 \leq t \leq 4이므로 t=2t = 2, 즉 x=9x = 9일 때 최댓값 55를 갖는다. 따라서 최댓값은 55이다.

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