대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그 치환 식의 값

문제

aa, bb는 11이 아닌 양수이고 log⁡a2+log⁡b2=2\log _{a} 2 + \log _{b} 2 = 2, log⁡2a+log⁡2b=−1\log _{2} a + \log _{2} b = - 1 일 때, (log⁡a2)2+(log⁡b2)2( \log _{a} 2 ) ^{2} + ( \log _{b} 2 ) ^{2}의 값은? [4점] ①44②66③88④1010⑤1212

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③

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해설

[출제의도] 로그의 성질 이해하기 log⁡a2=X\log _{a} 2 = X, log⁡b2=Y\log _{b} 2 = Y라고 하자. X+Y=2X + Y = 2, 1X+1Y=X+YXY=−1\displaystyle \frac{1}{X} + \frac{1}{Y} = \frac{X + Y}{XY} = - 1이므로 XY=−2XY = - 2이다. (log⁡a2)2+(log⁡b2)2=X2+Y2\left( \log _{a} 2 \right) ^{2} + \left( \log _{b} 2 \right) ^{2} = X ^{2} + Y ^{2}=(X+Y)2−2XY= \left( X + Y \right) ^{2} - 2 XY =22−2(−2)= 2 ^{2} - 2 \left( - 2 \right)=8= 8

태그

#로그#밑 변환#곱셈공식

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