로그 차가 정수인 집합

$1 \leq k \leq 100$, $n \in S$ 인 자연수에서 $S = \left\{ k | k \in S \text{이고} \log _{2} n - \log _{2} k \text{는} \text{정수} \right\}$의 원소의 개수를 $f ( n )$이므로 $f ( n ) = 1$ 은 $\log _{2} n - \log _{2} k = m ( m \text{은} \text{정수} )$인 집합 $S$의 원소($k$)가 1개인 $n$의 값을 구하는 문제이다. $\displaystyle \log _{2} n - \log _{2} k = \log _{2} \frac{n}{k} = m$에서 $\displaystyle \frac{n}{k} = 2 ^{m}$$( 1 \leq k , n \leq 100$인 자연수$)$ 이때, $\displaystyle \log _{2} {\frac{n}{k}}$이 정수여야 한다. $k = n$이면 $\displaystyle \log _{2} {\frac{n}{n}} = 1$(정수)이므로, 항상 $f ( n ) \geq 1$을 만족하게 된다. 그런데, $f ( n ) \geq 2$인 경우는 주어진 식의 값이 정수가 되는 $k$가 2개 이상 존재한다. ⑴ $k = 2 n$인 경우 $\displaystyle \log _{2} {\frac{n}{2 n}} = - 1$으로 정수가 된다. ∴ $n \in S$ 이고, $2 n \in S$을 만족 따라서 $0 2 n \leq 100$, $0 n \leq 50$ ⑵ $\displaystyle k = {\frac{n}{2}}$인 경우 $\displaystyle \log _{2} {\frac{n}{\frac{n}{2}} = 1}$으로 정수가 된다. ∴ $n \in S$ 이고, $\displaystyle {\frac{n}{2}} \in S$을 만족 $\displaystyle {\frac{n}{2}}$이 정수가 되므로 $n$은 짝수 따라서 $n$이 짝수 또는 50이하의 정수이면, $f ( n ) \geq 2$가 된다. 그러므로, $f ( n ) = 1$을 만족하도록 하는 자연수 $n$은 50 이상의 홀수여야 한다. ∴ 25개