대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그 변 삼각형 넓이

문제

∠A=90∘\mathrm{\angle} A = 90 ^\circ이고 AB‾=2log⁡2x\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \mathit{2} \log _{2} x, AC‾=\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} =log⁡416x\displaystyle \log _{4} \frac{16}{x}인 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 넓이를 S(x)S ( x )라 하자. S(x)S ( x )가 x=ax = a에서 최댓값 MM을 가질 때, a+Ma + M의 값은? (단, 1<x<161 < x < 16) [4점] ①66②77③88④99⑤1010

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①

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해설

삼각형 ABC\mathrm{ABC}에서 ∠A=90∘\angle \mathrm{A} = 90 ^\circ이므로 S(x)=12×AB‾×AC‾\displaystyle S ( x ) = \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{AC}}=12×2log⁡2x×log⁡416x\displaystyle = \frac{1}{2} \times 2 \log _{2} x \times \log _{4} \frac{16}{x} =log⁡2x×(2−12log⁡2x)\displaystyle = \log _{2} x \times \left( 2 - \frac{1}{2} \log _{2} x \right)=−12(log⁡2x)2+2log⁡2x\displaystyle = - \frac{1}{2} ( \log _{2} x ) ^{2} + 2 \log _{2} x =−12(log⁡2x−2)2+2\displaystyle = - \frac{1}{2} ( \log _{2} x - 2 ) ^{2} + 2 S(x)S ( x )는 log⁡2x=2\log _{2} x = 2, 즉 x=4x = 4일 때 최댓값 22를 가진다. 따라서 a=4a = 4, M=2M = 2이므로 a+M=4+2=6a + M = 4 + 2 = 6

태그

#로그함수#이차함수 최대

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