로그 분모 함수의 연속

[출제의도] 함수가 연속일 조건을 이용하여 극한값을 구할 수 있는가? $f ( x ) = x ^{2} + ax + b$로 놓으면 $\displaystyle f ( x ) g ( x ) = {\begin{cases} \frac{x ^{2} + ax + b}{\ln ( x + 1 )} & ( x \ne 0 , x > - 1 ) \\ 8 b & ( x = 0 ) \end{cases}}$ 함수 $f ( x ) g ( x )$가 $x = 0$에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{x ^{2} + ax + b}{\ln ( x + 1 )} = 8 b}$ (ⅰ) $x \rightarrow 0$일 때, (분모)→이므로 (분자)→이어야 한다. 즉, $b = 0$ (ⅱ) $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{x ^{2} + ax}{\ln ( x + 1 )} = 0}$에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{x + a}{\frac{\ln ( x + 1 )}{x}} = \frac{a}{1} = 0 \text{이므로} a = 0}$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $f ( x ) = x ^{2}$ $\therefore f ( 3 ) = 3 ^{2} = 9$