로그 부등식을 만족시키는 개수

[출제의도] 로그의 정의를 이용하여 함숫값 문제 해결하기 $2 \leq \log _{n} k < 3$에서 $n ^{2} \leq k < n ^{3}$이고 로그의 밑 조건에 의해 $n > 1$이다. $1$보다 큰 자연수 $n$에 대하여 $n ^{2} {\leq} k < n ^{3}$을 만족시키는 $100$이하의 자연수 $k$를 구하면 다음과 같다. $n = 2$: $4 \leq k < 8$에서 $k = 4 , 5 , 6 , 7$ $n = 3$: $9 \leq k < 27$에서 $k = 9 , 10 , \cdots , 26$ $n = 4$: $16 \leq k < 64$에서 $k = 16 , 17 , \cdots , 63$ $n = 5$: $25 \leq k < 125$에서 $k = 25 , 26 , \cdots , 100$ $n = 6$: $36 \leq k < 216$에서 $k = 36 , 37 , \cdots , 100$ $n = 7$: $49 \leq k < 343$에서 $k = 49 , 50 , \cdots , 100$ $n = 8$: $64 \leq k < 512$에서 $k = 64 , 65 , \cdots , 100$ $n = 9$: $81 \leq k < 729$에서 $k = 81 , 82 , \cdots , 100$ $n = 10$: $100 \leq k < 1000$에서 $k = 100$ 그러므로 $k$의 값에 따라 조건을 만족시키는 $f \left( k \right)$를 구하면 다음과 같다. (ⅰ) $k = 1 , 2 , 3$일 때, $f \left( k \right) = 0$ (ⅱ) $k = 4 , 5 , 6 , 7$일 때, $f \left( k \right) = 1$ (ⅲ) $k = 8$일 때, $f \left( k \right) = 0$ (ⅳ) $k = 9 , 10 , \cdots , 15$일 때, $f \left( k \right) = 1$ (ⅴ) $k = 16 , 17 , \cdots , 24$일 때, $f \left( k \right) = 2$ (ⅵ) $k = 25 , 26$일 때, $f \left( k \right) = 3$ (ⅶ) $k = 27 , 28 , \cdots , 35$일 때, $f \left( k \right) = 2$ (ⅷ) $k = 36 , 37 , \cdots , 48$일 때, $f \left( k \right) = 3$ (ⅸ) $k = 49 , 50 , \cdots , 80$일 때, $f \left( k \right) = 4$ (ⅹ) $k = 81 , 82 , \cdots , 99$일 때, $f \left( k \right) = 5$ (ⅺ) $k = 100$일 때, $f \left( k \right) = 6$ 따라서 $f \left( k \right) = 4$가 되도록 하는 $k$의 최댓값은 $80$이다.