대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그 부등식 항상 성립

문제

모든 양수 xx에 대하여 부등식 xlog⁡2x≥ax2x ^{\log _{2} x} \geq a x ^{2}이 항상 성립할 때, 양수 aa의 최댓값은? [3점] ①14\displaystyle \frac{1}{4}②12\displaystyle \frac{1}{2}③34\displaystyle \frac{3}{4}④11⑤54\displaystyle \frac{5}{4}

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②

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해설

양변에 밑이 22인 로그를 취하면 log⁡2xlog⁡2x≥log⁡2ax2\log _{2} x ^{\log _{2} x} \geq \log _{2} ax ^{2} (log⁡2x)2−2log⁡2x−log⁡2a≥0\left( \log _{2} x \right) ^{2} - 2 \log _{2} x - \log _{2} a \geq 0 log⁡2x=t\log _{2} x = t 라 하면 t2−2t−log⁡2a≥0t ^{2} - 2 t - \log _{2} a \geq 0 모든 실수tt 에 대하여 성립하려면 D4=1+log⁡2a≤0\displaystyle \frac{D}{4} = 1 + \log _{2} a \leq 0 ∴ 0<a≤12\displaystyle 0 < a \leq \frac{1}{2}

태그

#로그부등식#판별식

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