로그 부등식 귀납법

다음은 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식 $\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{n} \frac{\left[ \log 3 ^{k} \right]}{k} \leq \left[ \log 3 ^{n} \right]$ $\cdots \cdots ( * )$ 이 성립함을 증명한 것이다. (단, $[ x ]$는 $x$보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

<증명> (1) $n = 1$일 때, $( \text{좌변} ) = [ \log 3 ] , ( \text{우변} ) = [ \log 3 ]$이므로 $( * )$이 성립한다. (2) 임의의 자연수 $i$에 대하여 $\displaystyle a _{i} = \sum\limits _{k=1} ^{i} \frac{\left[ \log 3 ^{k} \right]}{k} , b _{i} = ( i + 1 ) ( a _{i+1} - a _{i} )$ 라 하면 $b _{i} =$ ㈎

이다. 이때, $n \leq m ( m \text{은} \text{자연수} )$일 때, $( * )$이 성립한다고 가정하면 $a _{i} \leq \left[ \log 3 ^{i} \right]$ (단, $i$는 $m$ 이하의 자연수이다.) 이제, $n = m + 1$일 때, $( * )$이 성립함을 보이자. $\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{m} b _{k} = ( m + 1 ) a _{m+1} - \sum\limits _{k=1} ^{m} a _{k} - a _{1}$ 이므로 $\displaystyle ( m + 1 ) a _{m+1} = \sum\limits _{k=1} ^{m} a _{k} +$ ㈏

그런데 $\left[ \log 3 ^{k} \right] + \left[ \log 3 ^{m+1-k} \right] \leq \left[ \log 3 ^{m+1} \right]$이므로 $\displaystyle ( m + 1 ) a _{m+1} \leq \sum\limits _{k=1} ^{m} \left[ \log 3 ^{k} \right] + \sum\limits _{k=1} ^{m+1} \left[ \log 3 ^{k} \right]$ $\displaystyle = \sum\limits _{k=1} ^{m} \left( \left[ \log 3 ^{k} \right] + \left[ \log 3 ^{m+1-k} \right] \right) +$ ㈐

$\leq m \left[ \log 3 ^{m+1} \right] + \left[ \log 3 ^{m+1} \right]$ $= ( m + 1 ) \left[ \log 3 ^{m+1} \right]$ $\therefore a _{m+1} \leq \left[ \log 3 ^{m+1} \right]$ 그러므로 $n = m + 1$일 때도 $( * )$이 성립한다. 따라서 (1)과 (2)에 의해 모든 자연수 $n$에 대하여 $( * )$이 성립한다.

위의 $\text{(가)} , \text{(나)} , \text{(다)}$에 알맞은 식을 각각 $f ( i ) , g ( m ) , h ( m )$이 라 할 때, $f ( n ) + g ( n ) - h ( n ) = 9$를 만족시키는 자연수 $n$의 값은? [4점] ①$4$②$6$③$8$④$10$⑤$12$