로그 방정식을 만족시키는 세 수의 합

$\log a = A$, $\log b = B$, $\log c = C$라 하고 준 식을 정리하면 $A + B - \log 2 = AB$ $\cdots \cdots$ ㉠ $B + C - \log 2 = BC$ $\cdots \cdots$ ㉡ $C + A = CA$ $\cdots \cdots$ ㉢ (단, $A > 1$, $B > 1$, $C > 1$) ㉠$-$㉡에서 $A - C = B ( A - C )$이므로 $A = C$ ($\because$$B > 1$) ㉢에 대입하면 $2 C = C ^{2}$ 즉, $C = 2$ ($\because$$C > 1$) $\therefore$$A = 2$ ㉠에 대입하면 $2 + B - \log 2 = 2 B$ $\therefore$$B = \log 50$ $\log a = 2$에서 $a = 100$ $\log b = \log 50$에서 $b = 50$ $\log c = 2$에서 $c = 100$ $\therefore$$a + b + c$$= 250$ [다른 풀이] $\log a = A$, $\log b = B$, $\log c = C$라 하면 $\displaystyle \log \frac{ab}{2} = \left( \log a \right) \left( \log b \right)$에서 $A + B - \log 2 = AB$, $\left( A - 1 \right) \left( B - 1 \right) = \log 5$ $\cdots \cdots$ ㉠ $\displaystyle \log \frac{bc}{2} = \left( \log b \right) \left( \log c \right)$에서 $B + C - \log 2 = BC$, $\left( B - 1 \right) \left( C - 1 \right) = \log 5$ $\cdots \cdots$ ㉡ $\log \left( ca \right) = \left( \log c \right) \left( \log a \right)$에서 $C + A = CA$, $\left( C - 1 \right) \left( A - 1 \right) = 1$ $\cdots \cdots$ ㉢ ㉠, ㉡, ㉢을 변끼리 곱하면 $\left\{ \left( A - 1 \right) \left( B - 1 \right) \left( C - 1 \right) \right\} ^{2} = \left( \log 5 \right) ^{2}$ $A > 1$, $B > 1$, $C > 1$이므로 $\left( A - 1 \right) \left( B - 1 \right) \left( C - 1 \right) = \log 5$ $\cdots \cdots$ ㉣ ㉣$\div$㉠을 하면 $C - 1 = 1$, $\log c = 2$ $\therefore$$c = 100$ ㉣$\div$㉡을 하면 $A - 1 = 1$, $\log a = 2$ $\therefore$$a = 100$ ㉣$\div$㉢을 하면 $B - 1 = \log 5$, $\log b = \log 50$ $\therefore$$b = 50$ 이상에서 $a + b + c = 250$