로그 방정식 자연수 해

$\displaystyle \log _{n} 4 \times \left( \frac{4}{\log _{m} 2} + \log _{2} n \right)$ $= 2 \log _{n} 2 \times \left( 4 \log _{2} m + \log _{2} n \right)$ $= 8 \log _{n} 2 \times \log _{2} m + 2 \log _{n} 2 \times \log _{2} n$ $= 8 \log _{n} m + 2 = 8$ $\displaystyle \log _{n} m = \frac{3}{4}$에서 $\displaystyle m = n ^{\frac{3}{4}}$ $\displaystyle n ^{\frac{3}{4}}$이 자연수가 되기 위해서는 어떤 자연수 $k$에 대하여 $n = k ^{4}$이어야 한다. $1 < n < 100$이므로 $n = 2 ^{4}$ 또는 $n = 3 ^{4}$이다. $n = 2 ^{4}$이면 $\displaystyle m = \left( 2 ^{4} \right) ^{\frac{3}{4}} = 2 ^{3} = 8$이므로 $m + n = 8 + 16 = 24$ $n = 3 ^{4}$이면 $\displaystyle m = \left( 3 ^{4} \right) ^{\frac{3}{4}} = 3 ^{3} = 27$이므로 $m + n = 27 + 81 = 108$ 따라서 $m + n$의 최댓값은 $\mathrm{108}$