대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

로그 A, B 대소 보기

문제

0<a<1<b0 < a < 1 < b이고 ab<1a b < 1인 두 실수 a,ba , b에 대하여 A=log⁡ab,B=log⁡ba\displaystyle A = \log _{a} \sqrt{b} , B = \log _{\sqrt{b}} a

라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

< 보 기 >
ㄱ. A<0A < 0 ㄴ. A>BA > B ㄷ. log⁡ab∣A∣+log⁡ab∣B∣=0\log _{ab} | A | + \log _{ab} | B | = 0

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
⑤

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해설

[출제의도] 로그의 대소관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. 0<a<1,b>10 < a < 1 , b > 1이므로 log⁡ab<log⁡a1=0\log _{a} b < \log _{a} 1 = 0 ∴ A=12log⁡ab<0\displaystyle A = \frac{1}{2} \log _{a} b < 0 (참) ㄴ. 0<a<1,b<1a\displaystyle 0 < a < 1 , b < \frac{1}{a}이므로 log⁡ab>log⁡a1a=−1\displaystyle \log _{a} b > \log _{a} \frac{1}{a} = - 1 ∴ A=12log⁡ab>−12\displaystyle A = \frac{1}{2} \log _{a} b > - \frac{1}{2} 따라서 −12<A<0\displaystyle - \frac{1}{2} < A < 0이므로 B=1A<−2\displaystyle B = \frac{1}{A} < - 2 ∴ A>BA > B (참) ㄷ. A=1B\displaystyle A = \frac{1}{B}이므로 AB=1AB = 1 ∴ log⁡ab∣A∣+log⁡ab∣B∣=log⁡ab∣AB∣=log⁡ab1=0\log _{ab} \left| A \right| + \log _{ab} \left| B \right| = \log _{ab} \left| AB \right| = \log _{ab} 1 = 0(참)

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