미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

리만합의 극한과 정적분

문제

f(x)=x\displaystyle f ( x ) = \sqrt{x}에 대하여 lim⁡n→∞∑k=1nkn{f(kn)−f(k−1n)}\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n}} \frac{k}{n} \left\{ f \left( \frac{k}{n} \right) - f \left( \frac{k - 1}{n} \right) \right\}의 값은? [4점] ①15\displaystyle \frac{1}{5}②14\displaystyle \frac{1}{4}③13\displaystyle \frac{1}{3}④12\displaystyle \frac{1}{2}⑤11

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③

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해설

kn{f(kn)−f(k−1n)}\displaystyle \frac{k}{n} \left\{ f \left( \frac{k}{n} \right) - f \left( \frac{k - 1}{n} \right) \right\}의 값은 다음 그림의 직사각형의 넓이와 같다.

따라서 lim⁡n→∞∑k=1nkn{f(kn)−f(k−1n)}\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n}} \frac{k}{n} \left\{ f \left( \frac{k}{n} \right) - f \left( \frac{k - 1}{n} \right) \right\}의 값은 다음 그림의 어두운 부분의 넓이와 같다.

그런데 y=x\displaystyle y = \sqrt{x}와 y=x2y = x ^{2}(x≥0x \geq 0)은 서로 역함수관계이므로 위 그림의 어두운 부분의 넓이는 다음 그림의 어두운 부분의 넓이와 같다.

∴ lim⁡n→∞∑k=1nkn{f(kn)−f(k−1n)}\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n}} \frac{k}{n} \left\{ f \left( \frac{k}{n} \right) - f \left( \frac{k - 1}{n} \right) \right\}=∫01x2dx\displaystyle = \int _{0} ^{1} x ^{2} dx=13\displaystyle = \frac{1}{3}

태그

#리만합#정적분#역함수

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