기하공간도형과 공간좌표수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

평면과 사각형 넓이

문제

좌표공간에서 평면 $\displaystyle \alpha : 12 x + 9 y - 5 \sqrt{3} z + 3 = 0$ 위의 두 점 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 에서 $x y$ 평면에 내린 수선의 발은 각각 $\mathrm{C} ( 1 , 0 , 0 )$ , $\mathrm{D} ( 0 , 3 , 0 )$ 이다. 평면 $\alpha$ 와 $x y$ 평면의 교선을 $l$ 이라 하고, 두 점 $\mathrm{C}$ , $\mathrm{D}$ 에서 교선 $l$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{E}$ , $\mathrm{F}$ 라 하자. 이때, 사각형 $\mathrm{AEFB}$ 의 넓이를 구하시오. [4점]

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9

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해설

$\displaystyle \mathrm{A} \left( 1 , 0 , \sqrt{3} \right) , B \left( 0 , 3 , 2 \sqrt{3} \right)$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \sqrt{3} , \overline{BD} = 2 \sqrt{3}$ $l : 4 x + 3 y + 1 = 0$ , $z = 0$ 에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{CE}} = 1 , \overline{DF} = 2$ ∴ $\displaystyle \mathrm{\overline{EF}} = 3$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} = 2 , \overline{BF} = 4$ 이므로 $\square \mathrm{AEFB}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( 2 + 4 ) \times 3 = 9 \right.$

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