기하공간도형과 공간좌표수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

평면과 구의 정사영

문제

좌표공간에서 xx축을 포함하고 xyxy평면과 이루는 각의 크기가 θ(0<θ<π2)\displaystyle \theta \left( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \right)인 평면을 α\alpha라 하자. 평면 α\alpha가 구 x2+y2+z2=1x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 1과 만나서 생기는 도형의 xyxy평면 위로의 정사영이 영역 {(x,y,0)∣x+3y−2≤0}\left\{ \left( x , y , 0 \right) | x + 3 y - 2 \leq 0 \right\}에 포함되도록 하는 θ\theta에 대하여 cos⁡θ\cos \theta의 최댓값을 MM이라 하자. 60M260 M ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

미분과 적분

정답 보기
2020

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

그림에서 평면 α\alpha가 구 x2+y2+z2=1x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 1과 만나서 생기는 도형의 xyxy 평면 위로의 정사영 위의 임의의 한 점의 좌표를 P(a,1−a2cos⁡θ,0)\displaystyle \mathrm{P} ( \mathit{a} , \sqrt{1 - a ^{2}} \cos \theta , 0 )이라 하면 a+31−a2cos⁡θ−2≤0\displaystyle a + 3 \sqrt{1 - a ^{2}} \cos \theta - 2 \leq 0이어야 하므로 31−a2cos⁡θ≤2−a\displaystyle 3 \sqrt{1 - a ^{2}} \cos \theta \leq 2 - a 양변을 제곱하여 정리하면 (1+9cos⁡2θ)a2−4a+4−9cos⁡2θ≥0( 1 + 9 \cos ^{2} \theta ) a ^{2} - 4 a + 4 - 9 \cos ^{2} \theta \geq 0 −1≤a≤1- 1 \leq a \leq 1에서 항상 성립해야 하므로 방정식 (1+9cos⁡2θ)a2−4a+4−9cos⁡2θ=0( 1 + 9 \cos ^{2} \theta ) a ^{2} - 4 a + 4 - 9 \cos ^{2} \theta = 0의 판별식을 DD라 하면 D/4=4−(1+9cos⁡2θ)(4−9cos⁡2θ)≤0D / 4 = 4 - ( 1 + 9 \cos ^{2} \theta ) ( 4 - 9 \cos ^{2} \theta ) \leq 0 81cos⁡4θ−27cos⁡2θ≤081 \cos ^{4} \theta - 27 \cos ^{2} \theta \leq 0 ∴cos⁡2θ≤13\displaystyle \therefore \cos ^{2} \theta \leq \frac{1}{3} ∴60M2=60⋅13=20\displaystyle \therefore 60 M ^{2} = 60 \cdot \frac{1}{3} = 20

태그

#정사영#이면각#판별식

비슷한 문제 더 보기

기하 문제 모음기하 공간도형과 공간좌표 문제 모음수능 문제 모음고난도 킬러 문제 모음
← 전체 문제 목록으로