평면 위 벡터 내적

$\vec{OA} \cdot \vec{AP} = \vec{OA} \cdot \left( \vec{OP} - \vec{OA} \right) = \vec{OA} \cdot \vec{OP} - \left| \vec{OA} \right| ^{2} = 6$이므로 $\vec{OA} \cdot \vec{OP} = 22$ $\vec{OA}$와 $\vec{OP}$가 이루는 각을 $\theta$라 하자. 점 $A$에서 평면 $\displaystyle x + y + \sqrt{2} z = 0$에 이르는 거리가 $2$이고 $\left| \vec{OA} \right| = 4$ 이므로 $\displaystyle \theta \geq \frac{\pi}{6}$ 이고 ${\vec{OA}} \cdot {\vec{OP}} > 0$ 이므로 $\displaystyle \theta < \frac{\pi}{2}$ 이다. 즉 $\displaystyle \frac{\pi}{6} \leq \theta < \frac{\pi}{2}$ ${\vec{OA}} \cdot {\vec{OP}} = 4 \times \left| \vec{OP} \right| \times \cos \theta = 22$ 에서 $\displaystyle \frac{\pi}{6} \leq \theta < \frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle \left| \vec{OP} \right| \geq \frac{11}{\sqrt{3}} > 6$ $\vec{AP} \cdot \vec{OP} = \left( \vec{OP} - \vec{OA} \right) \cdot \vec{OP} = \left| \vec{OP} \right| ^{2} - \vec{OA} \cdot \vec{OP} = \left| \vec{OP} \right| ^{2} - 22$ 이므로 $M = 9 ^{2} - 22 = 59 , m = 7 ^{2} - 22 = 27$