평면 운동의 속력

[출제의도] 좌표평면에서 속력의 최댓값을 구할 수 있는가? 점 $\mathrm{P}$의 시각 $\displaystyle t \left( 0 < t < \frac{\pi}{2} \right)$에서의 위치 $( x , y )$가 $x = t + \sin t \cos t , y = \tan t$ 이므로 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 속도 $\displaystyle \left( \frac{dx}{dt} , \frac{dy}{dt} \right)$는 $\displaystyle \begin{aligned} \frac{dx}{dt} & = 1 + \cos ^{2} t - \sin ^{2} t = 2 \cos ^{2} t \end{aligned}$ $\displaystyle \begin{aligned} \frac{dy}{dt} & = \sec ^{2} t \end{aligned}$ $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 속력은 $\displaystyle \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right) ^{2} + \left( \frac{dy}{dt} \right) ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( 2 \cos ^{2} t \right) ^{2} + \left( \sec ^{2} t \right) ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{4 \cos ^{4} t + \sec ^{4} t}$ 이때, $4 \cos ^{4} t > 0 , \sec ^{4} t > 0$이므로 $4 \cos ^{4} t + \sec ^{4} t$$\displaystyle \geq 2 \sqrt{4 \cos ^{4} t \times \sec ^{4} t}$ $\displaystyle = 2 \sqrt{4 \cos ^{4} t \times \frac{1}{\cos ^{4} t}}$ $= 4$ (단, 등호는 $4 \cos ^{4} t = \sec ^{4} t$일 때 성립한다.) 따라서 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 속력의 최댓값은 $\displaystyle \sqrt{4} = 2$이다.