미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

평면 운동 속력 최솟값

문제

좌표평면 위를 움직이는 점 P{\mathrm{P}}의 시각 t(t>0)t ( t > 0 )에서의 위치 (x,y)( x , y )가 x=2t+1\displaystyle x = 2 \sqrt{t + 1}, y=t−ln⁡(t+1)y = t - \ln ( t + 1 ) 이다. 점 P{\mathrm{P}}의 속력의 최솟값은? [4점] ①38\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}②68\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{8}③34\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}④64\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}⑤32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}

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⑤

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해설

[출제의도] 평면 위의 운동에서의 속력의 최솟값을 구할 수 있는가? dxdt=1t+1,dydt=1−1t+1\displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{1}{\sqrt{t + 1}} , \frac{dy}{dt} = 1 - \frac{1}{t + 1}이므로 시각 tt에서의 점 P\mathrm{P}의 속력 ∣v(t)∣\left| v ( t ) \right|는 ∣v(t)∣=(1t+1)2+(1−1t+1)2\displaystyle \left| v ( t ) \right| = \sqrt{\left( \frac{1}{\sqrt{t + 1}} \right) ^{2} + \left( 1 - \frac{1}{t + 1} \right) ^{2}} =1(t+1)2−1t+1+1\displaystyle = \sqrt{\frac{1}{( t + 1 ) ^{2}} - \frac{1}{t + 1} + 1} =(1t+1−12)2+34\displaystyle = \sqrt{\left( \frac{1}{t + 1} - \frac{1}{2} \right) ^{2} + \frac{3}{4}} 따라서 t=1t = 1일 때 점 P\mathrm{P}의 속력의 최솟값은 34=32\displaystyle \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

태그

#속력#평면 운동#최솟값

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