평면 운동 속력 최댓값

[출제의도] 평면 운동하는 점의 속력을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\displaystyle \frac{dx}{dt} = 2 \cos t + 2 \sin t , \frac{dy}{dt} = 3 \cos 2 t$이므로 점 $\mathrm{P}$의 속력 $| v |$는 $\displaystyle \begin{aligned} | v | & = \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right) ^{2} + \left( \frac{dy}{dt} \right) ^{2}} \end{aligned}$ $\displaystyle = \sqrt{( 2 \cos t + 2 \sin t ) ^{2} + 9 \cos ^{2} 2 t}$ $\displaystyle = \sqrt{4 + 4 \sin 2 t + 9 ( 1 - \sin ^{2} 2 t )}$ $\displaystyle \begin{aligned} = \sqrt{- 9 \sin ^{2} 2 t + 4 \sin 2 t + 13} & \end{aligned}$ $\sin 2 t = A$라 하면 $- 1 \leq A \leq 1$이고 $\displaystyle | v | = \sqrt{- 9 A ^{2} + 4 A + 13}$이므로 $| v |$는 $\displaystyle A = \frac{2}{9}$일 때, 최댓값 $\displaystyle \sqrt{\frac{121}{9}} = \frac{11}{3}$이다.