평행선과 벡터 최솟값

[출제의도] 벡터의 연산을 활용하여 문제해결하기 점 ${\mathrm{A}}$를 시점으로 하는 벡터 $4 {\mathrm{AB}}$의 종점을 ${\mathrm{B}} \mathit{_{1}}$이라 하자. 벡터 ${\vec{{\mathrm{CD}}}}$의 시점이 ${\mathrm{A}}$가 되도록 벡터 ${\vec{{\mathrm{CD}}}}$를 평행이동시킨 벡터의 종점을 ${\mathrm{E}}$라 하면 $4 {\vec{\mathrm{AB}}} - {\vec{\mathrm{CD}}} = {\vec{\mathrm{AB} \mathit{_{1}}}} - {\vec{\mathrm{AE}}} = {\vec{\mathrm{EB} \mathit{_{1}}}}$

점 ${\mathrm{B}} \mathit{_{1}}$에서 직선 $l _{2}$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{H}} \mathit{_{1}}$이라 하면 점 ${\mathrm{E}}$가 점 ${\mathrm{H}} \mathit{_{1}}$일 때 $\left| {\vec{\mathrm{EB} \mathit{_{1}}}} \right|$의 값은 최소이다. $\left| 4 {\vec{\mathrm{AB}}} - {\vec{\mathrm{CD}}} \right|$의 최솟값이 $\mathrm{12}$이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{B}} \mathit{_{1}} {\mathrm{H}} \mathit{_{1}}} = 12$점 ${\mathrm{A}}$에서 직선 $l _{2}$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{H}} \mathit{_{2}}$라 하자.

삼각형 ${\mathrm{AH}} \mathit{_{2}} {\mathrm{B}}$, ${\mathrm{B}} \mathit{_{1}} {\mathrm{H}} \mathit{_{1}} {\mathrm{B}}$는 서로 닮음이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 5$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BB} \mathit{_{1}}}} = 15$이므로 닮음비는 $1 : 3$이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH} \mathit{_{2}}}} = \frac{1}{3} {\overline{\mathrm{B} \mathit{_{1}} \mathrm{H} \mathit{_{1}}}} = 4$이므로 $d = 4$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BH} \mathit{_{2}}}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{AH} \mathit{_{2}}}} ^{2}} = 3$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BH} \mathit{_{1}}}} = 3 {\overline{\mathrm{BH} \mathit{_{2}}}} = 9$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{H} \mathit{_{1}} \mathrm{H} \mathit{_{2}}}} = {\overline{\mathrm{BH} \mathit{_{1}}}} + {\overline{\mathrm{BH} \mathit{_{2}}}} = 12$ 그러므로 $k$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{AH} \mathit{_{1}}}}$$\displaystyle = \sqrt{{\overline{\mathrm{AH} \mathit{_{2}}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{H} \mathit{_{1}} \mathrm{H} \mathit{_{2}}}} ^{2}}$ $\displaystyle = \sqrt{4 ^{2} + 12 ^{2}} = 4 \sqrt{10}$ 따라서 $\displaystyle d \times k = 16 \sqrt{10}$