평행사변형과 외접원

$\displaystyle \angle \mathrm{ABC} \mathit{=} \theta \left( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \right)$라 하면 $\displaystyle \cos \theta = \frac{1}{4}$이므로 $\displaystyle \sin \theta = \frac{\sqrt{15}}{4}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 넓이가 $\displaystyle \frac{32}{3} \pi$이므로 이 외접원의 반지름의 길이를 $R _{1}$이라 하면 $\displaystyle R _{1} = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{\overline{{\mathrm{A C}}}}{\sin \theta} = 2 R _{1}$에서 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AC}}} = 2 \sqrt{10}$ 평행사변형 $\mathrm{ABCD}$의 둘레의 길이가 $\mathrm{20}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = a \left( 0 < a < 5 \right)$라 하면 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AD}}} = \overline{{\mathrm{BC}}} = 10 - a$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙에 의하여 $40$$= a ^{2} + \left( 10 - a \right) ^{2} - 2 a \left( 10 - a \right) \cos \theta$ $\displaystyle = a ^{2} + ( 10 - a ) ^{2} - 2 a ( 10 - a ) \times \frac{1}{4}$ $a ^{2} - 10 a + 24 = 0$, $( a - 4 ) ( a - 6 ) = 0$ $a = 4$ 또는 $a = 6$에서 $0 < a < 5$이므로 ${\mathrm{AB}} \mathit{=} 4$, ${\mathrm{AD}} \mathit{=} 6$ $\angle {\mathrm{BAD}} \mathit{=} \pi - \theta$이므로 $\displaystyle \cos \left( \pi - \theta \right) = - \cos \theta = - \frac{1}{4}$ 삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} ^{2}$$= 6 ^{2} + 4 ^{2} - 2 \times 6 \times 4 \times \cos \left( \pi - \theta \right)$ $\displaystyle = 6 ^{2} + 4 ^{2} - 2 \times 6 \times 4 \times \left( - \frac{1}{4} \right) = 64$ ${\mathrm{BD}} \mathit{=} 8$ 삼각형 $\mathrm{ABD}$의 외접원의 반지름의 길이를 $R _{2}$라 하면 삼각형 $\mathrm{ABD}$에서 사인법칙에 의하여 $\displaystyle \frac{\overline{{\mathrm{B D}}}}{\sin ( \pi - \theta )} = 2 R _{2}$에서 $\displaystyle R _{2} = \frac{16 \sqrt{15}}{15}$ 삼각형 $\mathrm{ABD}$의 외접원의 넓이는 $\displaystyle \frac{256}{15} \pi$ $p = 15$, $q = 256$ 따라서 $p + q = 15 + 256 = 271$