평행사변형 넓이 최댓값

[출제의도] 삼각함수의 합성을 이용하여 최댓값을 구할 수 있는가? 사각형 $\mathrm{OABC}$가 평행사변형이므로 $f \left( \theta \right)$$= 2 \times \triangle \mathrm{OAB}$ $\displaystyle = 2 \times \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{OA}}} \times {\overline{\mathrm{OB}}} \times \sin \theta$ $\displaystyle = 2 \times \frac{1}{2} \times 1 \times \sqrt{\cos ^{2} \theta + \sin ^{2} \theta} \times \sin \theta$ $= \sin \theta$ 또, 평행사변형 $\mathrm{OABC}$의 대각선의 중점은 일치하므로 $\mathrm{C}$의 좌표를 $\left( a , b \right)$라 하면 $\displaystyle \left( \frac{\cos \theta + 1}{2} , \frac{\sin \theta}{2} \right) = \left( \frac{a}{2} , \frac{b}{2} \right)$ $\therefore a = \cos \theta + 1 , b = \sin \theta$ $\therefore {\mathrm{C}} \left( \cos \theta + 1 , \sin \theta \right)$ 그러므로 $g \left( \theta \right)$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{OC}}} ^{2}$$= \left( \cos \theta + 1 \right) ^{2} + \sin ^{2} \theta$$= 2 + 2 \cos \theta$ 그러므로 $f \left( \theta \right) + g \left( \theta \right)$$= \sin \theta + \left( 2 + 2 \cos \theta \right)$$= 2 \cos \theta + \sin \theta + 2$ $\displaystyle = \sqrt{5} \left( \frac{2 \sqrt{5}}{5} \cos \theta + \frac{\sqrt{5}}{5} \sin \theta \right) + 2$ $\displaystyle = \sqrt{5} \sin \left( \theta + \alpha \right) + 2$ $\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right.$단, $\displaystyle \left. \cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5} , \sin \alpha = \frac{2 \sqrt{5}}{5} , 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \right)$ 따라서 $f \left( \theta \right) + g \left( \theta \right)$의 최댓값은 $\displaystyle \theta + \alpha = \frac{\pi}{2}$ 즉, $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{2} - \alpha$일 때, $\displaystyle \sqrt{5} + 2$을 갖는다.