평행사변형 등비급수

[출제의도] 등비수열의 일반항을 추측하여 등비급수의 활용문제를 해결한다. 선분 $\mathrm{BC}$를 $1 : 3$으로 내분하므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BE}} = 1$ 선분 $\mathrm{DA}$를 $1 : 3$으로 내분하므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{DF}} = 1$ 따라서 그림 $R _{1}$에서 색칠된 평행사변형 $\mathrm{BEDF}$의 넓이는 $1 \times 4 = 4$이다. 그림 $R _{2}$에서 삼각형 $\mathrm{ECD}$ 안의 정사각형의 한 변의 길이를 $x$라 하자. 삼각형 $\mathrm{ECD}$에서 정사각형을 제외한 두 직각삼각형은 정사각형의 마주보는 두 변이 평행하므로 삼각형 $\mathrm{ECD}$와 닮음이다. 이 중 좌측 직각삼각형의 밑변의 길이는 삼각형 $\mathrm{ECD}$의 밑변과 높이의 비가 $3 : 4$이므로 $\displaystyle \frac{3}{4} x$가 된다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{EC}} = \frac{\mathit{3}}{4} x + x = \frac{7}{4} x = 3$ 그러므로 $\displaystyle x = \frac{12}{7}$ 한 변의 길이가 $\displaystyle \frac{12}{7}$인 정사각형과 한 변의 길이가 $4$인 정사각형의 닮음비는 $\displaystyle \frac{12}{7} : 4 = 3 : 7$이므로 넓이의 비는 $9 : 49$이다. 그런데 두 개의 평행사변형이 그려지므로 그림 $R _{1}$에서 색칠된 도형의 넓이의 $\displaystyle \frac{9}{49} \times 2 = \frac{18}{49}$이 그림 $R _{2}$에서 새로 색칠된다. 따라서 그림 $R _{n}$에 색칠되어 있는 도형의 넓이는 첫째항이 $4$이고 공비가 $\displaystyle \frac{18}{49}$인 등비수열의 첫째항부터 제$n$항까지의 합이다. 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} S _{n}$$\displaystyle = \frac{4}{1 - \frac{18}{49}} = \frac{4 \times 49}{49 - 18} = \frac{196}{31}$