평행사변형 대각선이 이루는 각

$\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \mathit{a}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = \mathit{b}$라 하면 평행사변형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이는 $\mathrm{\square} ABCD$$\mathrm{=} \triangle ABC + \triangle ACD = 2 \mathrm{\triangle} ABC$ $\displaystyle = 2 \times \frac{1}{2} ab \sin \theta$$= ab \sin 60 ^\circ$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2} ab$ 이고 $\mathrm{\square} ABCD$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} \times \overline{AC} \times \overline{BD} \times \sin \theta$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \sqrt{7} \times \sqrt{13} \times \sin \theta$$\displaystyle = \frac{\sqrt{91}}{2} \mathrm{\sin} \theta$ 이므로 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} ab = \frac{\sqrt{91}}{2} \mathrm{\sin} \theta$ $\displaystyle \sqrt{3} ab = \sqrt{91} \mathrm{\sin} \theta$ …… ㉠ 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 제이코사인법칙을 적용하면 $\displaystyle ( \sqrt{7} ) ^{2} = a ^{2} + b ^{2} - 2 ab \cos 60 ^\circ$ $7 = a ^{2} + b ^{2} - ab$ …… ㉡ 또, 삼각형 $\mathrm{BCD}$에서 제이코사인법칙을 적용하면 $\displaystyle ( \sqrt{13} ) ^{2} = a ^{2} + b ^{2} - 2 ab \cos 120 ^\circ$ $13 = a ^{2} + b ^{2} + ab$ …… ㉢ $\text{㉢} - \text{㉡}$을 하면 $2 ab = 6$ $\therefore ab = 3$ 이를 ㉠에 대입하면 $\displaystyle 3 \sqrt{3} = \sqrt{91} \mathrm{\sin} \theta$ $\displaystyle \therefore \sin \theta = \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{91}}$ $\displaystyle \therefore \sin ^{2} \theta = \left( \frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{91}} \right) ^{2} = \frac{27}{91}$