공통수학2평면좌표AI아주 기초 (2점~3점 초반)

평행사변형 대각선 증명 빈칸

문제

다음은 「평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다.」를 좌표를 이용하여 증명한 것이다.

평행사변형 $\mathrm{ABCD}$ 에서 그림과 같이 점 $\mathrm{A}$ 를 원점, 변 $\mathrm{AB}$ 가 $x$ 축 위에 오도록 좌표평면을 잡으면 $\mathrm{A} ( 0 , 0 )$ , $\mathrm{B} ( a , 0 )$ , $\mathrm{D} ( b , c )$ (단, $a > 0$ , $c > 0$ )로 놓을 수 있다.

사각형 $\mathrm{ABCD}$ 가 평행사변형이므로 점 $\mathrm{C}$ 의 좌표는 (가) 이다. 대각선 $\mathrm{AC}$ 의 중점의 좌표는 (나) 이고, 대각선 $\mathrm{BD}$ 의 중점의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{a + b}{2} , \frac{0 + c}{2} \right)$ 이다. 두 중점이 일치하므로 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다.

위의 증명에서 $a = 4$ , $b = 2$ , $c = 6$ 일 때, (나)에 알맞은 점의 좌표를 $( p , q )$ 라 하자. $p + q$ 의 값을 구하시오. [2점]

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해설

평행사변형에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$ 와 $\displaystyle \overline{\mathrm{DC}}$ 는 평행하고 길이가 같으므로 점 $\mathrm{C}$ 는 점 $\mathrm{D}$ 를 $x$ 축 방향으로 $a$ 만큼 옮긴 점이다. (가) $\mathrm{C} ( a + b , c )$ 대각선 $\mathrm{AC}$ 의 중점은 $\mathrm{A} ( 0 , 0 )$ , $\mathrm{C} ( a + b , c )$ 의 중점이므로 (나) $\displaystyle \left( \frac{a + b}{2} , \frac{c}{2} \right)$ $a = 4$ , $b = 2$ , $c = 6$ 을 대입하면 $\displaystyle \left( \frac{4 + 2}{2} , \frac{6}{2} \right) = ( 3 , 3 )$ 따라서 $p + q = 3 + 3 = 6$

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