공통수학2원의 방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

평행이동한 원의 접선

문제

원 x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1을 xx축의 방향으로 aa만큼 평행이동하면 직선 3x−4y−4=03 x - 4 y - 4 = 0에 접한다. 이때 양수 aa의 값은? [3점] ①83\displaystyle \frac{8}{3}②22\displaystyle 2 \sqrt{2}③33④10\displaystyle \sqrt{10}⑤72\displaystyle \frac{7}{2}

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③

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해설

[출제의도] 도형의 평행이동을 이해하고 원과 직선의 위치관계를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 원 x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1을 xx축의 방향으로 aa만큼 평행이동하면 (x−a)2+y2=1( x - a ) ^{2} + y ^{2} = 1이 되고 이 원이 직선 3x−4y−4=03 x - 4 y - 4 = 0에 접하려면 원의 중심 (a,0)( a , 0 )에서 직선 3x−4y−4=03 x - 4 y - 4 = 0에 이르는 거리 dd가 원의 반지름의 길이 11과 같아야 한다. 즉, d=∣3a−4∣32+(−4)2=1\displaystyle d = \frac{\left| 3 a - 4 \right|}{\sqrt{3 ^{2} + ( - 4 ) ^{2}}} = 1 , ∣3a−4∣=5\left| 3 a - 4 \right| = 5, 3a−4=±53 a - 4 = \pm 5 ∴ a=3(∵a>0)a = 3 ( \because a > 0 )

태그

#원과 직선#평행이동

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