평행이동한 삼각형이 원점을 품을 조건

실마리: 삼각형을 옮겨 원점을 품게 하는 대신, 원점을 거꾸로 옮겨 원래 삼각형 안에 넣는다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 점 $( x , y )$가 옮겨진 점이 $( x + a , y + b )$이므로 원점이 삼각형 $\mathrm{A}' B' C'$에 속하려면 $( 0 - a , 0 - b ) = ( - a , - b )$가 삼각형 $\mathrm{ABC}$에 속해야 한다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 내부와 변은 $y \geq 0$, $y \leq 2 x$, $x + y \leq 6$ 으로 나타내어진다. $p = - a$, $q = - b$라 하면 $p$, $q$는 정수이고 순서쌍 $( a , b )$와 $( p , q )$는 하나씩 짝지어지므로 $q \geq 0$, $q \leq 2 p$, $p + q \leq 6$을 만족시키는 정수 $( p , q )$의 개수를 세면 된다. $q = 0$일 때 $0 \leq p \leq 6$이므로 $7$개 $q = 1$일 때 $1 \leq p \leq 5$이므로 $5$개 $q = 2$일 때 $1 \leq p \leq 4$이므로 $4$개 $q = 3$일 때 $2 \leq p \leq 3$이므로 $2$개 $q = 4$일 때 $p = 2$이므로 $1$개 $q \geq 5$이면 $q \leq 2 p$와 $p + q \leq 6$을 함께 만족시키는 정수 $p$는 없다. 따라서 구하는 순서쌍의 개수는 $7 + 5 + 4 + 2 + 1 = 19$