평행이동한 포물선이 직선에 접할 조건

포물선 $y = x ^{2}$을 $x$축의 방향으로 $m$만큼 평행이동한 포물선의 방정식은 $y = ( x - m ) ^{2}$ 이 포물선과 직선 $y = 2 x - 5$가 접하므로 방정식 $( x - m ) ^{2} = 2 x - 5$, 즉 $x ^{2} - ( 2 m + 2 ) x + m ^{2} + 5 = 0$ 이 중근을 가진다. 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = ( m + 1 ) ^{2} - ( m ^{2} + 5 ) = 2 m - 4 = 0$ 따라서 $m = 2$ (확인) $m = 2$이면 $x ^{2} - 6 x + 9 = ( x - 3 ) ^{2} = 0$이므로 접점은 $( 3 , 1 )$이다.