대수지수함수와 로그함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

평행이동한 지수함수 보기

문제

실수 kk에 대하여 지수함수 y=axy = a ^{x}(a>0,a≠1)\left( a > 0 , a \ne 1 \right)의 그래프를 xx축의 방향으로 kk만큼 평행이동한 그래프가 나타내는 함수를 y=f(x)y = f \left( x \right)라 하자. 함수 f(x)f \left( x \right)가 다음 조건을 만족시킨다.

모든 실수 xx에 대하여 f(2+x)f(2−x)=1f \left( 2 + x \right) f \left( 2 - x \right) = 1이다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. f(2)=1f \left( 2 \right) = 1 ㄴ. 함수 y=f(x)y = f \left( x \right)의 그래프와 역함수 y=f−1(x)y = f ^{- 1} \left( x \right)의 그래프의 교점의 개수는 22이다. ㄷ. 모든 실수 tt에 대하여 f(t+1)−f(t)<f(t+2)−f(t+1)f \left( t + 1 \right) - f ( t ) < f \left( t + 2 \right) - f \left( t + 1 \right)이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
③

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해설

[출제의도] 지수함수의 성질을 활용하여 문제 해결하기 함수 f(x)=ax−kf \left( x \right) = a ^{x - k}(a>0,a≠1)\left( a > 0 , a \ne 1 \right)이므로 조건에 의하여 f(2+x)f(2−x)=a2+x−k×a2−x−kf \left( 2 + x \right) f ( 2 - x ) = a ^{2 + x - k} \times a ^{2 - x - k}=a4−2k=1= a ^{4 - 2 k} = 1 4−2k=04 - 2 k = 0, k=2k = 2이므로 함수 f(x)=ax−2f \left( x \right) = a ^{x - 2}(a>0,a≠1)\left( a > 0 , a \ne 1 \right) ㄱ. f(2)=a0=1f \left( 2 \right) = a ^{0} = 1 (참) ㄴ. 0<a<10 < a < 1일 때, 함수 y=f(x)y = f \left( x \right)의 그래프와 역함수 y=f−1(x)y = f ^{- 1} \left( x \right)의 그래프의 교점의 개수는 11이다. (거짓) ㄷ. {f(t+2)−f(t+1)}−{f(t+1)−f(t)}\left. \left\{ f \left( t + 2 \right) - f \left( t + 1 \right) \right\} - \left\{ f \left( t + 1 \right) - f ( t ) \right\} \right. =f(t+2)−2f(t+1)+f(t)= f \left( t + 2 \right) - 2 f \left( t + 1 \right) + f \left( t \right) =at−2at−1+at−2= a ^{t} - 2 a ^{t - 1} + a ^{t - 2} =at−2(a2−2a+1)= a ^{t - 2} \left( a ^{2} - 2 a + 1 \right) =at−2(a−1)2>0= a ^{t - 2} \left( a - 1 \right) ^{2} > 0 이므로 f(t+1)−f(t)<f(t+2)−f(t+1)f \left( t + 1 \right) - f ( t ) < f \left( t + 2 \right) - f \left( t + 1 \right) (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

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