평행이동 삼각형 내접원

[출제의도] 평행이동을 이용하여 원의 방정식을 구한다. 두 삼각형 $\mathrm{OAB}$, $\mathrm{O}' A' B'$에 내접하는 원을 각각 $C$, $C'$이라 하자. 원 $C$의 반지름의 길이를 $r$라 하면 원 $C$는 $x$축, $y$축에 모두 접하고 제$1$사분면에 중심이 있으므로 중심의 좌표는 $( r , r )$이다.

또한 두 점 $\mathrm{A} ( 4 , 0 )$, $\mathrm{B} ( 0 , 3 )$에 대하여 직선 $\mathrm{AB}$의 방정식은 $\displaystyle \frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1$ 즉 $3 x + 4 y - 12 = 0$이고 원 $C$가 직선 $\mathrm{AB}$에 접하므로 원의 중심 $( r , r )$와 직선 $\mathrm{AB}$ 사이의 거리는 원의 반지름의 길이 $r$와 같으므로 $\displaystyle \frac{\left| 3 r + 4 r - 12 \right|}{\sqrt{3 ^{2} + 4 ^{2}}} = r$ $\left| 7 r - 12 \right| = 5 r$ $7 r - 12 = 5 r$ 또는 $7 r - 12 = \mathit{-} 5 r$ $r = 6$, $r = 1$ $0 < r < 3$이므로 $r = 1$ 따라서 원 $C$의 방정식은 $( x - 1 ) ^{2} + ( y - 1 ) ^{2} = 1$ 점 $\mathrm{A} ( 4 , 0 )$을 $x$축의 방향으로 $5$만큼, $y$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동하면 점 $\mathrm{A}' ( 9 , 2 )$가 되므로 이 평행이동에 의하여 원 $C$가 평행이동한 원 $C'$의 방정식은 $( x - 5 - 1 ) ^{2} + ( y - 2 - 1 ) ^{2} = 1$ $( x - 6 ) ^{2} + ( y - 3 ) ^{2} = 1$ $x ^{2} + y ^{2} - 12 x - 6 y + 44 = 0$ $a = \mathit{-} 12$, $b = \mathit{-} 6$, $c = 44$이므로 $a + b + c = 26$ [참고] 내접원 $C$의 반지름의 길이 $r$를 다음과 같은 방법으로도 구할 수 있다.

원의 중심을 $\mathrm{M}$이라 하면, 점 $\mathrm{M}$에서 세 변 $\mathrm{OA}$, $\mathrm{OB}$, $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 길이는 원의 반지름의 길이 $r$와 같으므로 $\triangle \mathrm{OAB}$$= \triangle \mathrm{MOA} + \triangle \mathrm{MAB} + \triangle \mathrm{MBO}$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{OA}} \times \overline{OB}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{OA}}} \times \mathit{r} \mathrm{+} \frac{1}{2} \times {\overline{AB}} \times \mathit{r} \mathrm{+} \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{OB}}} \times \mathit{r}$ $\displaystyle 6 = \frac{1}{2} r ( 4 + 5 + 3 )$ $6 r = 6$ $r = 1$