평행이동 함수 보기

[출제의도] 다항함수의 미분과 정적분을 활용하여 주어진 명제의 참과 거짓을 판정할 수 있는가? 삼차함수 $f \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 $1$이고 $f' \left( 0 \right)$$= f' \left( 2 \right)$$= 0$이므로 $f' \left( x \right)$$= 3 x \left( x - 2 \right)$$= 3 x ^{2} - 6 x$ 이다. 따라서 $f \left( x \right)$$\displaystyle = \int _{} ^{} {} f' \left( x \right) dx$$= x ^{3} - 3 x ^{2} + C$ ($C$는 적분상수) 따라서 $f \left( x \right) - f \left( 0 \right)$$= x ^{3} - 3 x ^{2}$ 이고 $f \left( x + p \right) - f \left( p \right)$ $= \left( x + p \right) ^{3} - 3 x \left( x + p \right) ^{2} + C - \left( p ^{3} - 2 p ^{2} + c \right)$ $= \mathit{x} ^{3} + \left( 3 p - 3 \right) x ^{2} + \left( 3 p ^{2} - 6 p \right) x$ 이므로 $g \left( x \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} x ^{2} - 3 x ^{2} & \left( x \leq 0 \right) \\ x ^{3} + \left( 3 p - 3 \right) x ^{2} + \left( 3 p ^{2} - 6 p \right) x & \left( x > 0 \right) \end{cases}}$ 이다. ㄱ. $p$$= 1$이면 $g \left( x \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} x ^{3} - 3 x ^{2} & \left( x \leq 0 \right) \\ x ^{3} - 3 x & \left( x > 0 \right) \end{cases}}$ 이므로 $g' \left( x \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} 3 x ^{2} - 6 x & \left( x \leq 0 \right) \\ 3 x ^{2} - 3 & \left( x > 0 \right) \end{cases}}$ 따라서 $g' \left( 1 \right)$$= 3 - 3$$= 0$ (참) ㄴ. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} g \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} g \left( x \right)$$= g \left( 0 \right)$$= 0$이므로 함수 $g \left( x \right)$는 $x$$= 0$에서 연속이다. 이때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} g \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \left( 3 x ^{2} - 6 x \right)$$= 0$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} g \left( x \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \left\{ 3 x ^{2} + 2 \left( 3 p - 3 \right) x + \left( 3 p ^{2} - 6 p \right) \right\}$$= 3 p ^{2} - 6 p$ 이므로 $g \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 $3 p ^{2} - 6 p$$= 0$ 이어야 한다. 따라서 양수 $p$의 값은 $p$$= 2$뿐이므로 양수 $p$의 개수는 $1$이다. (참) ㄷ. $\displaystyle \int _{- 1} ^{0} {} g \left( x \right) dx$$\displaystyle = \int _{\mathit{-} 1} ^{0} {} \left( x ^{3} - 3 x ^{2} \right) dx$ $\displaystyle = \left[ \frac{1}{4} x ^{4} - x ^{3} \right] _{- 1} ^{0}$ $\displaystyle = 0 - \left( \frac{1}{4} + 1 \right)$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{5}{4}$ 이고, $\displaystyle \int _{0} ^{1} {} g \left( x \right) dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{1} {} \left\{ x ^{3} + \left( 3 p - 3 \right) x ^{2} + \left( 3 p ^{2} - 6 p \right) x \right\} dx$ $\displaystyle = \left[ \frac{1}{4} x ^{4} + \left( p - 1 \right) x ^{3} + \frac{3 p ^{2} - 6 p}{2} x ^{2} \right] _{0} ^{1}$ $\displaystyle = \frac{1}{4} + \left( p - 1 \right) + \frac{3 p ^{2} - 6 p}{2}$ $\displaystyle = \frac{3}{2} p ^{2} - 2 p - \frac{3}{4}$ 이므로 $\displaystyle \int _{- 1} ^{1} {} g \left( x \right) dx$ $\displaystyle = \int _{\mathit{-} 1} ^{0} {} g \left( x \right) dx + \int _{0} ^{1} {} g \left( x \right) dx$ $\displaystyle = \left( \mathit{-} \frac{5}{4} \right) + \frac{3}{2} p ^{2} - 2 p - \frac{3}{4}$ $\displaystyle = \frac{3}{2} p ^{2} - 2 p - 2$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left( 3 p + 2 \right) \left( p - 2 \right)$ 따라서 $p \geq 2$일 때, $\displaystyle \int _{- 1} ^{1} {} g \left( x \right) dx$$\geq 0$이다. (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. [다른풀이] 삼차함수 $f \left( x \right)$의 최고차항의 계수가 $1$이고 $f' \left( 0 \right)$$= f' \left( 2 \right)$$= 0$ 이므로 함수 $f \left( x \right)$는 $x$$= 0$에서 극대이고 $x$$= 2$에서 극소이다. 이때, 곡선 $y$$= f \left( x \right) - f \left( 0 \right)$은 곡선 $y$$= f \left( x \right)$를 $y$축의 방향으로 $- f \left( 0 \right)$만큼 평행이동한 것이고, 곡선 $y$$= f \left( x + p \right) - f \left( p \right)$는 곡선 $y$$= f \left( x \right)$를 $x$축의 방향으로 $- p$만큼, $y$축의 방향으로 $- f \left( p \right)$만큼 평행이동한 것이다. 따라서 두 곡선 $y$$= f \left( x \right) - f \left( 0 \right)$, $y$$= f \left( x + p \right) - f \left( p \right)$는 모두 원점을 지나고 함수 $g \left( x \right)$의 그래프는 다음과 같다.

ㄱ. $p$$= 1$일 때, 곡선 $y$$= f \left( x + 1 \right) - f \left( 1 \right)$는 곡선 $y$$= f \left( x \right)$를 $x$축의 방향으로 $- 1$만큼, $y$축의 방향으로 $- f \left( 1 \right)$만큼 평행이동한 것이다. 따라서 $g' \left( 1 \right)$$= 0$이다. (참) ㄴ. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} g \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} g \left( x \right)$$= g \left( 0 \right)$$= 0$이므로 함수 $g \left( x \right)$는 $x$$= 0$에서 연속이다. 이때 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} g \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \left( 3 x ^{2} - 6 x \right)$$= 0$ 이므로 $g \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} g' \left( x \right)$$= 0$ 이어야 한다. 그런데 $f' \left( x \right)$$= 0$인 양수 $x$의 값은 $2$뿐이므로 양수 $p$의 값은 $2$뿐이다. 따라서 양수 $p$의 개수는 $1$이다. (참) ㄷ. $p \geq 2$일 때 함수 $y$$= g \left( x \right)$의 그래프는 다음과 같다.

$p$$= 2$일 때, 함수 $y$$= g \left( x \right)$의 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle \int _{- 1} ^{1} {} g \left( x \right) dx$$= 0$ $p > 2$일 때, 모든 실수 $x$에 대하여 $f \left( x + p \right) - f \left( p \right)$$\geq f \left( x + 2 \right) - f \left( 2 \right)$ 이므로 $\displaystyle \int _{- 1} ^{1} {} g \left( x \right) dx$$\geq 0$ 따라서 $p \geq 2$일 때 $\displaystyle \int _{- 1} ^{1} {} g \left( x \right) dx$$\geq 0$ (참)