평행한 직선으로 삼각형 넓이 이등분

직선 $3 x + 4 y - 12 = 0$의 $x$절편은 $4$, $y$절편은 $3$이므로 이 직선과 두 축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$ 직선 $3 x + 4 y + k = 0$은 $x$, $y$의 계수가 직선 $3 x + 4 y - 12 = 0$과 같으므로 두 직선은 서로 평행하고, 직선 $3 x + 4 y + k = 0$의 $x$절편은 $\displaystyle - \frac{k}{3}$, $y$절편은 $\displaystyle - \frac{k}{4}$이다. 직선 $3 x + 4 y + k = 0$이 삼각형의 넓이를 이등분하려면 삼각형의 내부를 지나야 하므로 $x$절편 $\displaystyle - \frac{k}{3}$이 $0$보다 크고 $4$보다 작아야 한다. 즉 $- 12 < k < 0$ 이때 직선 $3 x + 4 y + k = 0$과 두 축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이가 원래 삼각형의 넓이의 절반이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( - \frac{k}{3} \right) \times \left( - \frac{k}{4} \right) = \frac{k ^{2}}{24} = 3$ $k ^{2} = 72$ $- 12 < k < 0$이므로 $\displaystyle k = - 6 \sqrt{2}$ 따라서 $\displaystyle k = - 6 \sqrt{2}$ ②