기하공간도형과 공간좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

평행한 두 직선과 수선

문제

공간에 서로 평행한 두 직선 ll, mm을 포함하는 평면 α\alpha가 있다. 평면 α\alpha 위에 있지 않은 점 P{\mathrm{P}}에서 두 직선 ll, mm에 내린 수선의 발을 각각 A{\mathrm{A}}, B{\mathrm{B}}라 하자. 직선 ll 위의 점 C{\mathrm{C}}에 대하여 네 점 A{\mathrm{A}}, B{\mathrm{B}}, C{\mathrm{C}}, P{\mathrm{P}}가 AP‾=3\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} = 3, BP‾=32\displaystyle {\overline{\mathrm{BP}}} = 3 \sqrt{2}, AP‾CA‾=BP‾BA‾=BA‾BC‾\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{AP}}}}{{\overline{\mathrm{CA}}}} = \frac{{\overline{\mathrm{BP}}}}{{\overline{\mathrm{BA}}}} = \frac{{\overline{\mathrm{BA}}}}{{\overline{\mathrm{BC}}}} 를 만족시킨다. 점 P{\mathrm{P}}에서 선분 BC{\mathrm{BC}}에 내린 수선의 발을 H{\mathrm{H}}라 할 때, 선분 PH{\mathrm{PH}}의 길이는? [3점] ①22\displaystyle 2 \sqrt{2}②10\displaystyle \sqrt{10}③23\displaystyle 2 \sqrt{3}④14\displaystyle \sqrt{14}⑤44

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②

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해설

점 P{\mathrm{P}}에서 평면 α\alpha에 내린 수선의 발을 I{\mathrm{I}}라 하자.

PI‾⊥α\displaystyle {\overline{\mathrm{P {\mathrm{I}}}}} \perp \alpha, PA‾⊥l\displaystyle {\overline{\mathrm{PA}}} \perp l이므로 삼수선의 정리에 의하여 IA‾⊥l\displaystyle {\overline{\mathrm{IA}}} \perp l ⋯\cdots⋯\cdots ㉠ PI‾⊥α\displaystyle {\overline{\mathrm{P {\mathrm{I}}}}} \perp \alpha, PB‾⊥m\displaystyle {\overline{\mathrm{PB}}} \perp m이므로 삼수선의 정리에 의하여 IB‾⊥m\displaystyle {\overline{\mathrm{IB}}} \perp m ⋯\cdots⋯\cdots ㉡ 평면 α\alpha 위의 두 직선 ll, mm이 서로 평행이므로 ㉠, ㉡에 의하여 세 점 A{\mathrm{A}}, B{\mathrm{B}}, I{\mathrm{I}}는 한 직선 위에 있다. AP‾CA‾=BP‾BA‾=BA‾BC‾\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{AP}}}}{{\overline{\mathrm{CA}}}} = \frac{{\overline{\mathrm{BP}}}}{{\overline{\mathrm{BA}}}} = \frac{{\overline{\mathrm{BA}}}}{{\overline{\mathrm{BC}}}}에 의하여 두 삼각형 ABP{\mathrm{ABP}}와 CBA{\mathrm{CBA}}는 서로 닮음이다. ∠BAC=π2\displaystyle \angle {\mathrm{BAC}} = \frac{\pi}{2}이므로 ∠BPA=π2\displaystyle \angle {\mathrm{BPA}} = \frac{\pi}{2} 삼각형 ABP{\mathrm{ABP}}에서 AB‾2=AP‾2+BP‾2=32+(32)2=27\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{AP}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{BP}}} ^{2} = 3 ^{2} + \left( 3 \sqrt{2} \right) ^{2} = 27 AB‾=33\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 3 \sqrt{3} 삼각형 ABP{\mathrm{ABP}}의 넓이는 12×PI‾×AB‾=12×AP‾×BP‾\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{P {\mathrm{I}}}}} \times {\overline{\mathrm{AB}}} = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AP}}} \times {\overline{\mathrm{BP}}} 12×PI‾×33=12×3×32\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{P {\mathrm{I}}}}} \times 3 \sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 \sqrt{2} PI‾=6\displaystyle {\overline{\mathrm{P {\mathrm{I}}}}} = \sqrt{6} 삼각형 BPI{\mathrm{B P {I}}}에서 BI‾2=PB‾2−PI‾2=(32)2−(6)2=12\displaystyle {\overline{\mathrm{BI}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{PB}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{P {\mathrm{I}}}}} ^{2} = \left( 3 \sqrt{2} \right) ^{2} - \left( \sqrt{6} \right) ^{2} = 12 BI‾=12=23\displaystyle {\overline{\mathrm{BI}}} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3} PI‾⊥α\displaystyle {\overline{\mathrm{P {\mathrm{I}}}}} \perp \alpha, PH‾⊥BC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} \perp {\overline{\mathrm{BC}}}이므로 삼수선의 정리에 의하여 IH‾⊥BC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{IH}}} \perp {\overline{\mathrm{BC}}}

두 삼각형 ABP{\mathrm{ABP}}, CBA{\mathrm{CBA}}는 서로 닮음이고 두 삼각형 IBH{\mathrm{IBH}}, CBA{\mathrm{CBA}}는 서로 닮음이므로 두 삼각형 ABP{\mathrm{ABP}}, IBH{\mathrm{IBH}}는 서로 닮음이다. 그러므로 IH‾IB‾=AP‾AB‾\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{IH}}}}{{\overline{\mathrm{IB}}}} = \frac{{\overline{\mathrm{AP}}}}{{\overline{\mathrm{AB}}}} IH‾=AP‾×IB‾AB‾=3×2333=2\displaystyle {\overline{\mathrm{IH}}} = \frac{{\overline{\mathrm{AP}}} \times {\overline{\mathrm{IB}}}}{{\overline{\mathrm{AB}}}} = \frac{3 \times 2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{3}} = 2 삼각형 PIH\mathrm{P} {I H}에서 PH‾2=PI‾2+IH‾2=(6)2+22=10\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{P} \mathrm{I}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{IH}}} ^{2} = \left( \sqrt{6} \right) ^{2} + 2 ^{2} = 10 따라서 PH‾=10\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} = \sqrt{10}

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#삼수선의 정리#닮음

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