평균값 정리와 최솟값

[출제의도] 평균값의 정리를 이용하여 함수의 최솟값을 구할 수 있는가? 함수 $f \left( x \right)$는 닫힌구간 $\left[ 1 , 5 \right]$에서 연속이고 열린구간 $\left( 1 , 5 \right)$에서 미분가능하므로 평균값의 정리에 의하여 $\displaystyle \frac{f \left( 5 \right) - f \left( 1 \right)}{5 - 1}$$= f' \left( c \right)$ $\cdots \cdots$ ㉠ 를 만족하는 상수 $c$가 열린구간 $\left( 1 , 5 \right)$에 적어도 하나 존재한다. 이때, 조건 (나)에 의하여 $f' \left( c \right) \geq 5$ 이므로 ㉠에서 $\displaystyle \frac{f \left( 5 \right) - 3}{4} \geq 5$ $f \left( 5 \right) \geq 23$ 따라서 $f \left( 5 \right)$의 최솟값은 $23$이다.