평균변화율 함수 조건

조건 (가)에서 $g ( k ) = 0$인 양수 $k$가 존재한다. $\displaystyle g ( k ) = \frac{f ( k ) - f ( 0 )}{k} = 0$ $f ( k ) = f ( 0 )$ 조건 (가)에 의하여 함수 $f ( x )$의 그래프는 점 $( k , f ( k ) )$에서 직선 $y = f ( 0 )$과 접한다.

$f ( x ) = x ( x - k ) ^{2} + f ( 0 )$ $f' ( x )$$= ( x - k ) ^{2} + 2 x ( x - k )$$= ( 3 x - k ) ( x - k )$ $\cdots \cdots$ ㉠ $\displaystyle g ( t ) = \frac{f ( t ) - f ( 0 )}{t} = \frac{t ( t - k ) ^{2}}{t} = ( t - k ) ^{2}$ 조건 (나)에서 $f' ( a ) = g ( a )$ $( 3 a - k ) ( a - k ) = ( a - k ) ^{2}$ $2 a ( a - k ) = 0$ $a > 0$이므로 $a = k$ ㉠에서 $f' ( k ) = 0$이므로 $g ( a ) = 0$ $\cdots \cdots$ ㉡ 조건 (나)에서 $\displaystyle f' \left( \frac{5}{3} \right) = g ( a )$이고 ㉡에서 $g ( a ) = 0$이므로 $\displaystyle f' \left( \frac{5}{3} \right) = 0$ ㉠에서 $f' ( x ) = 0$에서 $\displaystyle x = \frac{k}{3}$ 또는 $x = k$이므로 $\displaystyle \frac{k}{3} = \frac{5}{3}$ 또는 $\displaystyle k = \frac{5}{3}$ 조건 (나)에서 $\displaystyle a > \frac{5}{3}$이므로 $\displaystyle k > \frac{5}{3}$ 따라서 $k = 5$ $f' ( x ) = ( 3 x - 5 ) ( x - 5 )$ $g ( t ) = ( t - 5 ) ^{2}$ 이차방정식 $f' ( x ) = g ( m )$에서 $3 x ^{2} - 20 x - m ^{2} + 10 m = 0$ 이차방정식 $f' ( x ) - g ( m ) = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D$$= ( - 20 ) ^{2} - 4 \times 3 \times ( - m ^{2} + 10 m )$ $= 12 ( m - 5 ) ^{2} + 100 > 0$ 이므로 이차방정식 $f' ( x ) - g ( m ) = 0$은 $m$의 값에 관계없이 서로 다른 두 실근을 갖는다. 서로 다른 두 실근을 $c _{1} , c _{2} ( c _{1} < c _{2} )$라 하자. $n ( A _{m} ) = 2$이려면 $0 < c _{1} < c _{2} {\leq} m$이어야 한다. 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 $\displaystyle c _{1} c _{2} = \frac{- m ^{2} + 10 m}{3} > 0$ $0 < m < 10$ 두 함수 $y = f' ( x ) , y = g ( x )$의 그래프는 그림과 같다.

$g ( m ) = ( m - 5 ) ^{2} {\geq} 0$이므로 $f' ( x ) = g ( m )$에서 $f' ( x ) = ( 3 x - 5 ) ( x - 5 ) {\geq} 0$ $\displaystyle x {\leq} \frac{5}{3}$ 또는 $x {\geq} 5$ ⅰ) $0 < m < 5$인 경우

$0 < c _{1} < m < 5 < c _{2}$이므로 $A _{m} = \left\{ c _{1} \right\}$ $n ( A _{m} ) \ne 2$ ⅱ) $m = 5$인 경우 $g ( 5 ) = 0$이므로 $f' ( x ) = g ( 5 ) = 0$ $( 3 x - 5 ) ( x - 5 ) = 0$ $\displaystyle x = \frac{5}{3}$ 또는 $x = 5$ $\displaystyle A _{5} = \left\{ \frac{5}{3} , 5 \right\}$ $n ( A _{5} ) = 2$ ⅲ) $5 < m < 10$인 경우

$0 < c _{1} < c _{2} < m$이므로 $A _{m} = \left\{ c _{1} , c _{2} \right\}$ $n ( A _{m} ) = 2$ ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의해 $n ( a _{m} ) = 2$를 만족시키는 자연수 $m$은 $5 , 6 , 7 , 8 , 9$ 따라서 $5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35$