평균변화율 함수 g

ㄱ. $x \ne 2$일 때, $( x - 2 ) g ( x ) = f ( x ) - f ( 2 )$에서 $\displaystyle g ( x ) = \frac{f ( x ) - f ( 2 )}{x - 2}$ $f ( x )$는 미분가능한 함수이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 2} g ( x ) =$$\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 2} \frac{f ( x ) - f ( 2 )}{x - 2} = f' ( 2 )$ (참) ㄴ. $f ( x ) - f ( 2 )$는 이차함수이고 $x = 2$일 때 $0$이므로 $x - 2$라는 인수를 갖는다. 따라서 $g ( x )$는 일차함수이다. 따라서 $g ( x )$는 미분가능하다. 이때, $( x - 2 ) g ( x ) = f ( x ) - f ( 2 )$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $g ( x ) + ( x - 2 ) g' ( x ) = f' ( x )$ ∴ $( x - 2 ) g' ( x ) = f' ( x ) - g ( x )$ (참) ㄷ. ㄴ에서 $g ( x )$가 일차함수이므로 $g' ( x )$는 $0$이 아닌 상수이다. 따라서 $( x - 2 ) g' ( x )$는 일차함수로 부호가 $x = 2$기준으로 음에서 양 또는 양에서 음으로 바뀐다. 문제의 조건만으로 $g' ( x )$의 부호를 판단할 수 없으므로 $x > 2$일 때, $g ( x ) < f' ( x )$인지 $g ( x ) > f' ( x )$인지 판단을 할 수 없다. (거짓) [다른 풀이] ㄷ. $\displaystyle \frac{f ( x ) - f ( 2 )}{x - 2}$는 $( x , f ( x ) )$와 $( 2 , f ( 2 ) )$를 잇는 선분의 기울기와 같다.

$x > 2$일 때, 위 그림에서 $y = f ( x )$의 그래프의 개형이 아래로 볼록한 경우 $g ( x ) > f' ( x )$, 위로 볼록한 경우 $g ( x ) < f' ( x )$가 됨을 알 수 있다. 문제에서 $f ( x )$가 위로 볼록한지 아래로 볼록한지 주어지지 않았으므로 $x > 2$에서 $g ( x )$와 $f' ( x )$의 크기를 비교할 수 없다.