평균변화율 부등식

부등식 $\displaystyle 2 k - 8 \leq \frac{f \left( k + 2 \right) - f \left( k \right)}{2} \leq 4 k ^{2} + 14 k$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 에서 $2 k - 8 = 4 k ^{2} + 14 k$를 만족하는 $k$의 값을 구하면 $4 k ^{2} + 12 k + 8 = 0$, $\left( k + 1 \right) \left( k + 2 \right) = 0$ $k = - 2$ 또는 $k = - 1$ $k$의 값을 부등식 ㉠에 대입하면 $k = - 2$일 때, $\displaystyle - 12 \leq \frac{f \left( 0 \right) - f \left( - 2 \right)}{2} \leq - 12$ $\therefore$ $f \left( 0 \right) - f \left( - 2 \right) = - 24$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ $k = - 1$일 때, $\displaystyle - 10 \leq \frac{f \left( 1 \right) - f \left( - 1 \right)}{2} \leq - 10$ $\therefore$ $f \left( 1 \right) - f \left( - 1 \right) = - 20$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ $f \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수이므로 $f \left( x \right) = x ^{3} + ax ^{2} + bx + c$ ($a$, $b$, $c$는 상수) 라 하자. ㉡, ㉢에서 $f \left( 0 \right) - f \left( - 2 \right) = - 4 a + 2 b + 8$이므로 $- 4 a + 2 b + 8 = - 24$ $f \left( 1 \right) - f \left( - 1 \right) = 2 + 2 b$이므로 $2 + 2 b = - 20$ 위 두 식을 연립하면 $\displaystyle a = \frac{5}{2}$, $b = - 11$ $\displaystyle f \left( x \right) = x ^{3} + \frac{5}{2} x ^{2} - 11 x + c$이므로 $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} + 5 x - 11$ $\therefore$ $f' \left( 3 \right) = 3 \times 3 ^{2} + 5 \times 3 - 11 = 31$