포물선의 접선

점 $\mathrm{P} ( \mathit{a} , b )$가 포물선 $y ^{2} = 4 x$ 위의 점이므로 $b ^{2} = 4 a \cdots \cdots \text{㉠}$ 또, 점 P에서의 접선은 $by = 2 ( x + a )$이므로 이 접선이 $x$축과 만나는 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\mathrm{Q} ( \mathit{-} a , 0 )$ 이때, $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = 4 \sqrt{5}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} ^{2} = 80$ $4 a ^{2} + b ^{2} = 80$, $4 a ^{2} + 4 a = 80$ (∵ ㉠) $a ^{2} + a - 20 = 0$, $( a - 4 ) ( a + 5 ) = 0$ ∴ $a = 4$ $( \because a > 0 )$ ㉠에서 $b ^{2} = 16$ ∴ $a ^{2} + b ^{2} = 16 + 16 = 32$