포물선의 정의 활용

두 점 $\mathrm{F}$, $\mathrm{A}$에서 준선 $l$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{Q}$, $\mathrm{M}$이라 하자. $\displaystyle {\overline{\mathrm{HA}}} : {\overline{\mathrm{AF}}} = 3 : 1$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AF}}} = k \left( k > 0 \right)$이라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{HA}}} = 3 k$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{HF}}} = 4 k$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AM}}} = {\overline{\mathrm{AF}}} = k$ 두 삼각형 $\mathrm{HMA}$, $\mathrm{HQF}$가 서로 닮음이고 닮음비가 $3 : 4$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FQ}}} = \frac{4}{3} k$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{FQ}}} = 4$, $k = 3$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{HF}}} = 4 k = 12$ 점 $\mathrm{P}$에서 선분 $\mathrm{HF}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{R}$이라 하자. $\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} = {\overline{\mathrm{PF}}}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{HR}}} = {\overline{\mathrm{RF}}} = 2 k = 6$ $\angle \mathrm{FHQ} \mathit{=} \angle \mathrm{HPR}$, $\displaystyle \angle \mathrm{FQH} \mathit{=} \angle \mathrm{HRP} \mathit{=} \frac{\pi}{2}$ 두 삼각형 $\mathrm{HQF}$, $\mathrm{PRH}$는 서로 닮음이다. $\mathrm{FQ} \mathit{:} \mathrm{HR} \mathit{=} 2 : 3$ 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} = \frac{3}{2} {\overline{\mathrm{HF}}} = \frac{3}{2} \times 12 = 18$ [다른 풀이]

두 점 $\mathrm{F}$, $\mathrm{A}$에서 준선 $l$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{Q}$, $\mathrm{M}$이라 하자. $\mathrm{HA} \mathit{:} \mathrm{AF} \mathit{=} 3 : 1$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AF}}} = k \left( k > 0 \right)$이라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{HA}}} = 3 k$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{HF}}} = 4 k$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AM}}} = {\overline{\mathrm{AF}}} = k$ 두 삼각형 $\mathrm{HMA}$, $\mathrm{HQF}$가 서로 닮음이고 닮음비가 $3 : 4$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FQ}}} = \frac{4}{3} k$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{FQ}}} = 4$, $k = 3$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{HF}}} = 4 k = 12$ 점 $\mathrm{F}$에서 선분 $\mathrm{PH}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{R}$이라 하자. 삼각형 $\mathrm{HQF}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{HQ}}} = \sqrt{12 ^{2} - 4 ^{2}} = 8 \sqrt{2}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{HQ}}} = {\overline{\mathrm{RF}}} = 8 \sqrt{2}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} = {\overline{\mathrm{PF}}} = x$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PR}}} = {\overline{\mathrm{PH}}} - {\overline{\mathrm{RH}}} = x - 4$ 직각삼각형 $\mathrm{PRF}$에서 $\displaystyle \left( x - 4 \right) ^{2} + \left( 8 \sqrt{2} \right) ^{2} = x ^{2}$ $x = 18$ 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} = 18$