포물선의 방정식

[출제의도] 초점의 좌표와 준선의 방정식이 주어진 포물선의 방정식을 구할 수 있는가? 초점이 점 $\displaystyle \mathrm{F} \left( \frac{1}{3} , 0 \right)$이고 준선이 직선 $\displaystyle x = \mathit{-} \frac{1}{3}$인 포물선의 방정식은 $\displaystyle y ^{2} = \frac{4}{3} x$ 이 포물선 위에 점 $\left( a , 2 \right)$가 있으므로 $\displaystyle 2 ^{2} = \frac{4}{3} \times a$ 따라서 $a = 3$ [다른 풀이] 점 $\left( a , 2 \right)$가 초점이 점 $\displaystyle \mathrm{F} \left( \frac{1}{3} , 0 \right)$이고 준선이 직선 $\displaystyle x = \mathit{-} \frac{1}{3}$인 포물선 위에 있으므로 $\mathrm{A} \left( \mathit{a} , 2 \right)$라 하면 선분 $\mathrm{AF}$의 길이와 점 $\mathrm{A}$에서 직선 $\displaystyle x = \mathit{-} \frac{1}{3}$까지의 거리가 같다. 즉, $\displaystyle \sqrt{\left( a - \frac{1}{3} \right) ^{2} + \left( 2 - 0 \right) ^{2}} = \left| a - \left( - \frac{1}{3} \right) \right|$ $\displaystyle \left( a - \frac{1}{3} \right) ^{2} + 4 = \left( a + \frac{1}{3} \right) ^{2}$ $\displaystyle a ^{2} - \frac{2}{3} a + \frac{1}{9} + 4 = a ^{2} + \frac{2}{3} a + \frac{1}{9}$ $\displaystyle \frac{4}{3} a = 4$ 따라서 $a = 3$