포물선과 원의 교점

점 ${\mathrm{P}}$는 포물선 위의 점이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} = {\overline{\mathrm{FP}}} = r$ 선분 ${\mathrm{PH}}$와 선분 ${\mathrm{FA}}$는 평행하고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} = {\overline{\mathrm{FP}}} = {\overline{\mathrm{FA}}} = r$이므로 사각형 ${\mathrm{APHF}}$는 평행사변형이다. 포물선의 준선이 $x$축과 만나는 점을 ${\mathrm{Q}}$라 하자. $\angle {\mathrm{QFH}} = \angle {\mathrm{PHF}}$이고, $\displaystyle {\overline{\mathrm{FQ}}} = 2 p$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FH}}} = \frac{{\overline{\mathrm{FQ}}}}{\cos \left( \angle {\mathrm{QFH}} \right)} = 2 \sqrt{3} p$ $\displaystyle \sin ^{2} \left( \angle {\mathrm{PHF}} \right) = 1 - \cos ^{2} \left( \angle {\mathrm{PHF}} \right) = \frac{2}{3}$, $\displaystyle \sin \left( \angle {\mathrm{PHF}} \right) = \frac{\sqrt{6}}{3}$ 평행사변형 ${\mathrm{APHF}}$의 넓이는 삼각형 ${\mathrm{FPH}}$의 넓이의 $2$배이므로 $\displaystyle 2 \times \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{PH}}} \times {\overline{\mathrm{FH}}} \times \sin \left( \angle {\mathrm{PHF}} \right) = 54 \sqrt{2}$ $\displaystyle 2 \times \frac{1}{2} \times r \times 2 \sqrt{3} p \times \frac{\sqrt{6}}{3} = 54 \sqrt{2}$, $rp = 27$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 삼각형 ${\mathrm{PHF}}$는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} = {\overline{\mathrm{FP}}}$인 이등변삼각형이므로 점 ${\mathrm{P}}$에서 선분 ${\mathrm{FH}}$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{R}}$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{HR}}} = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{FH}}} = \sqrt{3} p$ 삼각형 ${\mathrm{PHR}}$에서 $\displaystyle \cos \left( \angle {\mathrm{PHR}} \right) = \frac{{\overline{\mathrm{HR}}}}{{\overline{\mathrm{PH}}}}$, $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3} p}{r}$, $r = 3 p$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $3 p ^{2} = 27$이므로 $p = 3$, $r = 9$ 따라서 $p + r = 12$