공통수학2원의 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

포물선과 원의 공통접선

문제

이차함수 y=2x2y = 2 x ^{2}의 그래프와 원 x2+(y+1)2=1x ^{2} + \left( y + 1 \right) ^{2} = 1에 동시에 접하는 직선이 y=ax+by = ax + b일 때, a2+ba ^{2} + b의 값을 구하시오. (단, aa, bb는 상수이고 b<0b < 0이다.) [4점]

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70

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해설

[출제의도] 원과 직선의 위치관계를 이해하기 아래 그림과 같이 ⅰ) 직선 y=ax+by = ax + b가 이차함수 y=2x2y = 2 x ^{2}의 그래프에 접하므로 이차방정식 2x2−ax−b=02 x ^{2} - ax - b = 0의 판별식은 D=0D = 0이다. 그러므로 a2=−8ba ^{2} = - 8 b ⋯①\cdots \text{①} ⅱ) 직선 y=ax+by = ax + b가 원 x2+(y+1)2=1x ^{2} + \left( y + 1 \right) ^{2} = 1에 접하므로 ∣1+b∣a2+1=1\displaystyle \frac{\left| 1 + b \right|}{\sqrt{a ^{2} + 1}} = 1이다. 그러므로 a2+1=b2+2b+1a ^{2} + 1 = b ^{2} + 2 b + 1 $\cdots \text{ ②}$ ①, ②를 연립하여 풀면, b=−10(b<0)b = - 10 \left( b < 0 \right), a2=80a ^{2} = 80이다. 따라서 a2+b=70a ^{2} + b = 70

태그

#접선#판별식

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