포물선과 원

[출제의도] 이차함수와 원의 그래프 이해하기

이차함수 $f ( x ) = ax ^{2} + b$의 그래프와 원 $x ^{2} + y ^{2} = 4$의 그래프가 세 점 $\mathrm{A} ( 0 , - 2 )$, $\mathrm{B} ( c , d )$, $\mathrm{C} ( - c , d )$ $( c > 0 )$에서 만날 때, 세 점 $\mathrm{A} , B , C$가 원의 둘레를 삼등분한다. 원점 $\mathrm{O}$에 대하여 $\angle \mathrm{AOB} = 120 ^\circ$이므로, $\displaystyle c = \sqrt{3} d$ …① 또 $\mathrm{B} ( c , d )$는 원 위의 점이므로 $c ^{2} + d ^{2} = 4$ … ② ①, ②에 의하여 $\displaystyle c = \sqrt{3} , d = 1$ 한편 $f ( x ) = ax ^{2} + b$는 점 $\mathrm{A} ( 0 , - 2 )$를 지나므로, $b = - 2$이고, 점 $\displaystyle \mathrm{B} ( \sqrt{3} , 1 )$은 포물선 위의 점이므로 $1 = 3 a - 2 , a = 1$이다. $\therefore f ( x ) = x ^{2} - 2$이므로 $f ( 5 ) = 23$