포물선과 타원 초점

$y ^{2} = 16 x$의 초점 $\mathrm{F} ( 4 , 0 )$이고, 준선의 방정식은 $x = - 4$이다. 점 $\mathrm{A} ( - 2 , 0 )$을 지나고 초점이 선분 $\mathrm{AF}$ 위에 있으므로 점 $\mathrm{A}$는 꼭짓점이다. 타원과 포물선의 교점 $\mathrm{B}$에서 준선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{BH}} = \overline{\mathrm{BF}}$이다. 그러므로 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표는 $\displaystyle - 4 + \frac{21}{5} = \frac{1}{5}$이다. 그러므로 점 $\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{1}{5} , \frac{4}{\sqrt{5}} \right)$ 중심의 좌표를 $( a , 0 )$이라 하면 $\mathrm{F} ( 4 , 0 )$이고 중심에서 거리가 $4 - a$이므로 $\mathrm{F}' ( 2 \mathit{a} - 4 , 0 )$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BF}'} + \overline{\mathrm{BF}}$가 장축의 길이이므로 장축의 길이는 $( a + 2 ) \times 2$이다. $\therefore$ $\displaystyle \overline{\mathrm{BF}'} = 2 \mathit{a} + 4 - \frac{21}{5} = 2 a - \frac{1}{5}$ $\displaystyle \sqrt{\left( 2 a - 4 - \frac{1}{5} \right) ^{2} + \left( \frac{4}{\sqrt{5}} \right) ^{2}} = 2 a - \frac{1}{5}$ $\displaystyle \left( 2 a - \frac{21}{5} \right) ^{2} + \frac{16}{5} = 4 a ^{2} - \frac{4}{5} a + \frac{1}{25}$ $\displaystyle 4 a ^{2} - \frac{84}{5} a + \frac{441}{25} + \frac{80}{25} = 4 a ^{2} - \frac{4}{5} a + \frac{1}{25}$ $\displaystyle \frac{520}{25} = 16 a$ $\displaystyle \therefore a = \frac{13}{10}$ $\therefore 10 k = 20 a + 40 = 26 + 40 = 66$