기하이차곡선수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

포물선과 넓이비

문제

그림과 같이 좌표평면에서 포물선 y2y ^{2}=4x= 4 x의 초점 F\mathrm{F}를 지나고 xx축과 수직인 직선 l1l _{1}이 이 포물선과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 A,B\mathrm{A} , B라 하고, 점 F\mathrm{F}를 지나고 기울기가 mm(m>0)\left( m > 0 \right)인 직선 l2l _{2}가 이 포물선과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 C,D\mathrm{C} , D라 하자. 삼각형 FCA\mathrm{FCA}의 넓이가 삼각형 FDB\mathrm{FDB}의 넓이의 55배일 때, mm의 값은? (단, 두 점 A,C\mathrm{A} , C는 제11사분면 위의 점이고, 두 점 B,D\mathrm{B} , D는 제44사분면 위의 점이다.) [4점]

①32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}②11③52\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}④62\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}⑤72\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{2}

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③

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해설

[출제의도] 포물선의 성질 이해하기

∠AFC\angle \mathrm{AFC}=∠DFB= \angle \mathrm{DFB}이고 FA‾\displaystyle {\overline{\mathrm{FA}}}=FB‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{FB}}}이다. 삼각형 FCA\mathrm{FCA}의 넓이가 삼각형 FDB\mathrm{FDB}의 넓이의 55배이므로 12×FA‾×FC‾×sin⁡(∠AFC)\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{FA}}} \times {\overline{\mathrm{FC}}} \times \sin \left( \angle \mathrm{AFC} \right) =5×12×FB‾×FD‾×sin⁡(∠DFB)\displaystyle = 5 \times \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{FB}}} \times {\overline{\mathrm{FD}}} \times \sin \left( \angle \mathrm{DFB} \right) FC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{FC}}}=5FD‾\displaystyle = 5 {\overline{\mathrm{FD}}} 두 점 C,D\mathrm{C} , D에서 이 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 각각 P,Q\mathrm{P} , Q라 하고, 점 C\mathrm{C}를 지나고 xx축에 수직인 직선과 직선 QD\mathrm{QD}가 만나는 점을 RR라 하자. FD‾\displaystyle {\overline{\mathrm{FD}}}=s= s라 하면 QD‾\displaystyle {\overline{\mathrm{QD}}}=FD‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{FD}}}=s= s PC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{PC}}}=FC‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{FC}}}=5s= 5 s DR‾\displaystyle {\overline{\mathrm{DR}}}=QR‾−QD‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{QR}}} - {\overline{\mathrm{QD}}}=4s= 4 s, CD‾\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}}=6s= 6 s에서 CR‾\displaystyle {\overline{\mathrm{CR}}}=25s\displaystyle = 2 \sqrt{5} s 따라서 mm=CR‾DR‾\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{CR}}}}{{\overline{\mathrm{DR}}}}=25s4s\displaystyle = \frac{\mathit{2 \sqrt{5} s}}{4 s}=52\displaystyle = \frac{\sqrt{5}}{2}

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